Dimension der sym. 2x2-Matrize < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Schobbi |
Hallo zusammen
ich wollte mal kurz nachfragen, ob meine Herleitung für die Dimension der sym. 2x2-Matrizen so richtig ist, oder ob es da noch eine einfachere Möglichkeit gibt.
Allgemein betrachtet sei [mm] A\in [/mm] M(mxn) dann gibt es eine lineare Abbildung [mm] K^{n} \to K^{m}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] A*x. Also [mm] \exists Hom(K^{n},K^{m}).
[/mm]
Es gilt für die Dimension von linearen Abbildungen :
[mm] dimHom(K^{n}, K^{m}) [/mm] = [mm] dimK^{n} [/mm] * [mm] dimK^{m} [/mm] = n * m.
Für die symmetrischen 2x2-Matrizen wirde also gelten:
A [mm] \in [/mm] M(2x2,K) dann gibt es eine lineare Abbildung [mm] K^{2} \to K^{2}, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] A*x. Also [mm] \exists Hom(K^{2},K^{2}).
[/mm]
[mm] \Rightarrow dimHom(K^{2}, K^{2}) [/mm] = [mm] dimK^{2} [/mm] * [mm] dimK^{2} [/mm] = 2 * 2 = 4
Eine mögliche Basis von A wäre folglich:
[mm] B=\{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }\}
[/mm]
Jetzt schon mal ein "Danke" für eure Antworten und weiterhin ein schönes Wochenende. Gruß Schobbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Sa 13.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
du hast am Ende leider nicht beachtet, dass deine 2x2 Matrizen zusaetzlich symmetrisch sein sollen !
(deine Ueberlegungen und Basis ist fuer allgemeine 2x2 Matrizen richtig)
aber das geht ja genau so schnell:
$ [mm] \pmat{a&c\\c&b}=a*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }+c*\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }+b*\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] $
daraus siehst du ja die Basis
(und damit die Dimension des Raumes)
viele Gruesse
DaMenge
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