Dimension des dualraumes < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X ein endlich dimensionaler Banachraum.
Wieso gilt dann: dim X = dim X' = dim X'' mit X' sei der Dualraum von X und X'' sei der Bidualraum von X |
Hallo zusammen!
Kann mir jemand den obigen Zusammenhang mit einem kleinen Beweis erklären?
Viele Grüsse,
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 13:59 Mo 31.12.2007 | | Autor: | Stoecki |
ich denke dein grundsätzliches problem ist zunächst einmal, was der dualraum überhaupt ist. was macht der dualraum... der dualraum ist die menge aller linearen abbildungen in einen körper (also zum beispiel nach IR). wie sieht eine darstellungsmatrix einer beliebigen festen abbildung aus die sowas macht? es ist ein zeilenvektor a^tr. denn dieser zeilenvektor a^tr mit einem element x aus deinem banachraum multiplizierst, also a^tr*x bildest, landest du in zum beispiel IR (oder einem anderen körper). jetzt wollen wir beim dualraum aber nicht eine lineare abbildung haben die sowas macht sondern alle. also alle a^tr die sowas können... also müssen wir irgendwie eine basis finden. und das können wir, indem wir a als beliebige linearkombination von basisvektoren darstellen... aber aus welchem raum kommt a? aus dem gleichen wie X... bzw aus einem der die gleiche dimension hat, denn sonst wäre a^tr*x nicht wohldefiniert. die vektoren müssen ja die gleiche länge haben. also brauchen wir auch genauso viele basisvektoren wie für die elemente deines vektorraums.
wie das spielchen für den bidualraum weiter geht, bekomme ich jetzt grade nicht aus den fingern gesaugt... bin nicht so der theoretische mathematiker. theoretisch sollte das aber nicht viel anders laufen. man hat dann halt als grundraum einen raum, der aus linearen funktionen besteht und müsste da was passendes finden.
gruß bernhard
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