Dimension einer Lie-Algebra < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:52 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Casy |
Hallo!
Ich kämpfe mich gerade durch die Thematik Lie-Algebren zu Matrizengruppen. Leider habe ich ganz grundlegende Probleme und ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei diesen Grundlagen helfen könnte.
Ich habe keine konkrete Aufgabe, sondern ein grundsätzliches Verständnisproblem.
Also, ich habe schon rausgefunden, dass es für jede Matrixgruppe G eine Lie-Algebra gibt.
Diese ist genau der Tangentialraum in der Einheitsmatrix E an G: [mm] T_{E}G.
[/mm]
Jetzt habe ich ein Problem mit der Dimension der Lie-Algebra:
Mein Vorwissen sagt mir, dass ein Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit M in p die selbe Dimension hat wie die Mannigfaltigkeit selbst. (z.B. Kugeloberfläche ist 2-dim, dann ist [mm] T_{p}M [/mm] auch von dim 2)
Lokal verhält sich eine Mannigfaltigkeit wie ein Vektorraum.
Lie-Algebren sind ja auch Vektorräume, auf denen noch der Kommutator gilt.
Deshalb weiß ich z.B., dass dim [mm] T_{E}GL_{n}(\IR)=n^2, [/mm] weil ich weiß, dass dim [mm] GL_{n}(\IR)=n^2
[/mm]
und im [mm] T_{E}GL_{n}(\IC)=2n^2, [/mm] weil dim [mm] GL_{n}(\IC)=2n^2
[/mm]
Bis hierhin habe ich es richtig verstanden, oder?
Jetzt zur eigentlichen Frage:
Wie komme ich auf die Dimensionen von anderen Matrix-Gruppen?
im Skript sind die Dimensionen nur aufgelistet, aber ich weiß nicht, wie man da drauf kommt:
dim [mm] SL_{n}(\IR)=n^2-1 [/mm] (spezielle lineare Gruppe)
....die selbe Dimension hat auch die spezielle unitäre Gruppe SU(n)
dim [mm] Aff_{n}(k)=(n^2+n)dim_{\IR}k [/mm] (affine Gruppe, k=Körper [mm] (\IR [/mm] oder [mm] \IC)
[/mm]
dim O(n)= dim [mm] SO(N)=\vektor{n \\ 2} [/mm] (orthogonale bzw. spezielle orthogonale Gruppe)
Woher weiß ich die Dimensionen bzw. wie kann ich die berechnen?
...Und noch ein Problem: Ich hab gelesen, dass die Lie-Agebra zu den oberen Dreiecksmatrizen [mm] UT_{n}(k) [/mm] gerade die oberen Dreiecksmatrizen selbst und nicht der Tangentialraum sind.
Warum ist gerade bei dieser Gruppe die Lie-Algebra NICHT der Tangentialraum?
Ich weiß, ich frage hier absolute Grundlagen, aber ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand von Grund auf mit diesen Dimensionen helfen könnte...
Danke!
Bin dankbar für Hilfe
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Hallo!
>
> Ich kämpfe mich gerade durch die Thematik Lie-Algebren zu
> Matrizengruppen. Leider habe ich ganz grundlegende Probleme
> und ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei diesen
> Grundlagen helfen könnte.
>
> Ich habe keine konkrete Aufgabe, sondern ein
> grundsätzliches Verständnisproblem.
>
> Also, ich habe schon rausgefunden, dass es für jede
> Matrixgruppe G eine Lie-Algebra gibt.
> Diese ist genau der Tangentialraum in der Einheitsmatrix E
> an G: [mm]T_{E}G.[/mm]
>
> Jetzt habe ich ein Problem mit der Dimension der
> Lie-Algebra:
>
> Mein Vorwissen sagt mir, dass ein Tangentialraum einer
> Mannigfaltigkeit M in p die selbe Dimension hat wie die
> Mannigfaltigkeit selbst. (z.B. Kugeloberfläche ist 2-dim,
> dann ist [mm]T_{p}M[/mm] auch von dim 2)
> Lokal verhält sich eine Mannigfaltigkeit wie ein
> Vektorraum.
Nja, die Aussage ist nicht ganz richtig, das würde bedeuten dass um jeden Punkt eine Umgebung existiert, die eine Vektorraumstruktur trägt. Du meinst aber wahrscheinlich das richtige, nämlich dass an jedem Punkt ein Vektorraum klebt.
>
> Lie-Algebren sind ja auch Vektorräume, auf denen noch der
> Kommutator gilt.
>
> Deshalb weiß ich z.B., dass dim [mm]T_{E}GL_{n}(\IR)=n^2,[/mm] weil
> ich weiß, dass dim [mm]GL_{n}(\IR)=n^2[/mm]
> und im [mm]T_{E}GL_{n}(\IC)=2n^2,[/mm] weil dim [mm]GL_{n}(\IC)=2n^2[/mm]
>
> Bis hierhin habe ich es richtig verstanden, oder?
Jop.
>
> Jetzt zur eigentlichen Frage:
> Wie komme ich auf die Dimensionen von anderen
> Matrix-Gruppen?
>
> im Skript sind die Dimensionen nur aufgelistet, aber ich
> weiß nicht, wie man da drauf kommt:
>
> dim [mm]SL_{n}(\IR)=n^2-1[/mm] (spezielle lineare Gruppe)
> ....die selbe Dimension hat auch die spezielle unitäre
> Gruppe SU(n)
>
> dim [mm]Aff_{n}(k)=(n^2+n)dim_{\IR}k[/mm] (affine Gruppe, k=Körper
> [mm](\IR[/mm] oder [mm]\IC)[/mm]
>
> dim O(n)= dim [mm]SO(N)=\vektor{n \\ 2}[/mm] (orthogonale bzw.
> spezielle orthogonale Gruppe)
>
> Woher weiß ich die Dimensionen bzw. wie kann ich die
> berechnen?
Naja, es gibt da im Allgemeinen kein einheitliches Rezept für. Viele Matrixgruppen sind aber durch Gleichungen definiert, und da geht das eigentlich recht gut.
Etwa für SL(n, R):
Die Determinante ist eine glatte Abbildung [mm]GL(n,R)\to \IR[/mm], und das Urbild der 1 ist gerade SL(n,R). Nun ist das ein regulärer Wert von det, und nach dem Satz vom regulären Wert ist dann SL(n,R) eine Untermannigfaltigkeit von GL(n,R) mit Kodimension dim(R)=1.
Du kannst ja versuchen für O(n) ein ähnliches Argument zu finden.
>
> ...Und noch ein Problem: Ich hab gelesen, dass die
> Lie-Agebra zu den oberen Dreiecksmatrizen [mm]UT_{n}(k)[/mm] gerade
> die oberen Dreiecksmatrizen selbst und nicht der
> Tangentialraum sind.
> Warum ist gerade bei dieser Gruppe die Lie-Algebra NICHT
> der Tangentialraum?
Zunächst einmal besteht die Matrixgruppe [mm]UT_{n}(k)[/mm] aus den invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen, und die Lie-Algebra aus allen oberen Dreiecksmatrizen; sie sind also nicht identisch.
Zum anderen ist hier die Lie-Algebra natürlich auch der Tangentialraum im neutralen Element, aber dieser ist halt isomorph zum Vektorraum der oberen Dreiecksmatritzen mit dem gewöhnlichen Kommutator als zugehöriger Lie-Klammer.
>
> Ich weiß, ich frage hier absolute Grundlagen, aber ich
> wäre sehr dankbar, wenn mir jemand von Grund auf mit
> diesen Dimensionen helfen könnte...
>
> Danke!
> Bin dankbar für Hilfe
Beste Grüße,
Berieux
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:54 Mi 01.06.2011 | | Autor: | Casy |
Danke, das war die entscheidende Hilfe!
Das mit der Definition der Gruppen über Gleichungen hatte ich so nicht vor Augen; mit deinem Tipp komme ich auf jeden Fall weiter.
Danke nochmal!
|
|
|
|
