Dimension eines Vektorraumes < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:28 Mo 25.09.2006 | | Autor: | Ande |
| Aufgabe | | Es sei V ein [mm] \IF_{2}-Vektorraum [/mm] und es gelte <v,v>=0 für alle [mm] v\in [/mm] V.Zeige: dim V ist gerade. |
Hallo zusammen
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. Ich habe mir folgendes überlegt: Ich müsste zeigen können, dass jede symmetrische (2n+1)x(2n+1)-Matrix in [mm] \IF_{2} [/mm] mit lauter Nullen auf der Diagonale singulär ist. Dann könnte man vielleicht zeigen, dass es für jedes n [mm] \in \IN [/mm] eine reguläre 2n x 2n-Matrix über [mm] \IF_{2} [/mm] gibt, die lauter Nullen auf der Diagonale hat.
Ich denke, das ist ein guter Ansatz, aber ich weiss nun nicht weiter. Wie zeigt man, dass eine Matrix singulär ist?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mo 25.09.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Andrea!
Gemeint ist bestimmt eine nicht-ausgeartete symmetr. Bilinearform < , >. Für ausgeartete gilt das natürlich nicht.
Man kann dann solange hyperbolische Ebenen abspalten, bis ein 0- oder 1dimensionaler Raum übrig bleibt. Bei 0dimensional ist man fertig. Bei 1dimensional mit Basis b hätte man <b,b> = 0 oder = 1. Bei = 0 wäre die Form ausgeartet, bei = 1 wäre die Voraussetzung nicht erfüllt.
Hinweis: Das Schlagwort für diesen ganzen Kram ist der 'Satz von Witt'.
Vielleicht kann ich bis morgen noch eine ausführlichere Lösung hinschreiben und die Begriffe etwas erklären, vielleicht übernimmt das auch jemand anders.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:36 Mi 27.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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