Dimension und Basis < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte die folgenden Elemente des [mm] \IQ^3:
[/mm]
[mm] v_{1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}; v_{2}=\vektor{4 \\ 5 \\ 6}; v_{3}=\vektor{7 \\ 8 \\ 9}
[/mm]
Bestimmen sie die Dimension des von v1, v2, v3 erzeugten Unterraums des [mm] \IQ^3. [/mm] Bestimme eine Basis dieses Unterraums. |
A= [mm] \pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9}
[/mm]
[mm] \Rightarrow A^T=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}
[/mm]
umformen führt zu
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] U=span [mm] \{ \vektor{1 \\ 2 \\ 3}; \vektor{0 \\ 1 \\ 2} \} [/mm] und dimU=2
stimmt das?
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
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Hallo Big_Head78,
> Betrachte die folgenden Elemente des [mm]\IQ^3:[/mm]
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> [mm]v_{1}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}; v_{2}=\vektor{4 \\ 5 \\ 6}; v_{3}=\vektor{7 \\ 8 \\ 9}[/mm]
>
> Bestimmen sie die Dimension des von v1, v2, v3 erzeugten
> Unterraums des [mm]\IQ^3.[/mm] Bestimme eine Basis dieses
> Unterraums.
> A= [mm]\pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A^T=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}[/mm]
>
> umformen führt zu
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] U=span [mm]\{ \vektor{1 \\ 2 \\ 3}; \vektor{0 \\ 1 \\ 2} \}[/mm]
> und dimU=2
> stimmt das?
Nein, das stimmt nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Hier hast Du den Orthogonalraum [mm]U_{\perp}[/mm] bestimmt.
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> ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
Gruss
MathePower
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und wie muss ich vorgehen?
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Hallo,
> und wie muss ich vorgehen?
meiner Ansicht nach stimmt deine Lösung.
Jeder deiner Ausgangsvektoren ist schließlich Linearkombination deiner gefundenen Basis [mm] (b_1, b_2)=$ [/mm] ( [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}; \vektor{0 \\ 1 \\ 2} [/mm] )$
[mm] v_1=b_1
[/mm]
[mm] v_2=4b_1-3b_2
[/mm]
[mm] v_3=7b_1-6b_2
[/mm]
Außerdem sind die Basiselemente linear unabhängig.
Gruß
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