Dimension und direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:17 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Gina2013 |
| Aufgabe | Seien K ein Körper, V ein endlich dimensionaler K-VR und [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] Unterräume von V. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
1) V = [mm] U_{1}\oplus U_{2}
[/mm]
2) dim V = [mm] dim(U_{1} [/mm] + [mm] U_{2}) [/mm] = dim [mm] U_{1} [/mm] + dim [mm] U_{2} [/mm] |
Hallo liebe Leute,
mit den Beweisen bin ich leider nicht so gut. Hier weiß ich nicht, wie ich von der direkte Summe zur Dimension kommen könnte?
Ich denke mal, muss mit Basis von V anfangen, da die Länge eines Basen die Dimension ist:
Z.B. [mm] B=(v_{1}, v_{2}, [/mm] .... , [mm] v_{n});
[/mm]
[mm] U_{1}=
[/mm]
[mm] U_{2}=
Dann seien [mm] (u_{1}, u_{1}') [/mm] und [mm] (u_{2}, u_{2}') \in U_{1}\oplus U_{2}
[/mm]
[mm] U_{1}+U_{2}=(u_{1}+u_{1}'; u_{2}+u_{2}') [/mm] und [mm] \lambda(u_{1} x_{1}')=(\lambda u_{2};\lambda u_{1}')
[/mm]
Wäre das schon mal ein richtiger Ansatz?
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> Seien K ein Körper, V ein endlich dimensionaler K-VR und
> [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] Unterräume von V. Zeigen Sie, dass folgende
> Aussagen äquivalent sind:
> 1) V = [mm]U_{1}\oplus U_{2}[/mm]
> 2) dim V = [mm]dim(U_{1}[/mm] + [mm]U_{2})[/mm] =
> dim [mm]U_{1}[/mm] + dim [mm]U_{2}[/mm]
> Hallo liebe Leute,
> mit den Beweisen bin ich leider nicht so gut.
> Hier weiß
> ich nicht, wie ich von der direkte Summe zur Dimension
> kommen könnte?
Hallo,
Deine Idee, mit dem Basen zu arbeiten, ist gut.
Beh.:
V = [mm]U_{1}\oplus U_{2}[/mm]
==>
dim V = [mm]dim(U_{1}[/mm] + [mm]U_{2})[/mm] =
> dim [mm]U_{1}[/mm] + dim [mm]U_{2}[/mm]
Beweis: es sei V = [mm]U_{1}\oplus U_{2}[/mm],
und es sei
[mm] B_1:=(v_1,...v_k) [/mm] eine Basis von [mm] U_1
[/mm]
und
[mm] B_2:=(w_1,...,w_m) [/mm] eine Basis von [mm] U_2,
[/mm]
[mm] k,m\in\IN.
[/mm]
Nun versuche zu zeigen, daß [mm] B:=(v_1,...,v_k,u_1,...,u_m) [/mm] eine Basis von V ist.
Zeige dazu zunächst,daß B ein Erzeugendensystem von V ist.
Danach zeige die lineare Unabhängigkeit.
Wenn Du alles hast, brauchst Du noch die andere Richtung.
> Dann seien [mm](u_{1}, u_{1}')[/mm] und [mm](u_{2}, u_{2}') \in U_{1}\oplus U_{2}[/mm]
Hier kriege ich etwas Angst>
beim Anblick dessen, was Du schreibst, bin ich mir nicht sicher, ob Du begriffen hast, was "direkte Summe" bedeutet.
Wie ist [mm] U_1\oplus U_2 [/mm] definiert?
Wie sind die Elemente gemacht, die in [mm] U_1\oplus U_2 [/mm] sind?
Das sind keine Vektorpaare!
LG Angela
>
> [mm]U_{1}+U_{2}=(u_{1}+u_{1}'; u_{2}+u_{2}')[/mm] und [mm]\lambda(u_{1} x_{1}')=(\lambda u_{2};\lambda u_{1}')[/mm]
>
> Wäre das schon mal ein richtiger Ansatz?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Mi 04.12.2013 | | Autor: | Gina2013 |
Danke schön Angela.
Die direkte Summe gilt, wenn der Schnitt Null ist und die Summe U1+U2=V.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:53 Do 05.12.2013 | | Autor: | Gina2013 |
Seien [mm] \lambda1=\lambda2=.....=\lambdan=0, [/mm] dann [mm] \lambda1v1+\lambda2v2+......+\lambdanvk+\lambdaw1+.....+\lambdam [/mm] ist Linearkombination von [mm] v\inV [/mm] ( v=v1,v2,.....,vk,w1,.....wm),
d.h. [mm] v\inV [/mm] ist eine lineare Kombination von Vektoren aus V und dass die Vektoren linear unabhängig sind, dann folgt: B ist eine Basis von V.
Ich glaube habe das nicht so ganz richtig formuliert, wäre froh, wenn es korrigiert werden könnte.
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Hallo,
> Seien [mm]\lambda1=\lambda2=.....=\lambdan=0,[/mm] dann
> [mm]\lambda1v1+\lambda2v2+......+\lambdanvk+\lambdaw1+.....+\lambdam[/mm]
Etwas mehr Sorgfalt beim Tippen, bitte.
Wenn die Lambdas alle =0 sind, dann ist diese Linearkombination auch =0.
Das ist ja nun erstens kein Wunder, und zeitens weiß ich nicht, was man daraus ableiten könnte.
> ist Linearkombination von [mm]v\inV[/mm] (
> v=v1,v2,.....,vk,w1,.....wm),
??? Von welchem v redest Du gerade?
Warum ist [mm] v=v_1?
[/mm]
> d.h. [mm]v\inV[/mm] ist eine lineare Kombination von Vektoren aus V
> und dass die Vektoren linear unabhängig sind,
Warum sind sie linear unabhängig?
> dann folgt:
> B ist eine Basis von V.
> Ich glaube habe das nicht so ganz richtig formuliert,
Die Formulierung ist kein Problem.
Das Problem ist der Inhalt.
> wäre froh, wenn es korrigiert werden könnte.
Es ist unkorrigierbar.
Nochmal:
Beh.:
V = [mm]U_{1}\oplus U_{2}[/mm]
==>
dim V = [mm]dim(U_{1}[/mm] + [mm]U_{2})[/mm] =
dim [mm]U_{1}[/mm] + dim [mm]U_{2}[/mm]
Beweis: es sei V = [mm]U_{1}\oplus U_{2}[/mm],
und es sei
[mm] B_1:=(v_1,...v_k) [/mm] eine Basis von [mm] U_1
[/mm]
und
[mm] B_2:=(w_1,...,w_m) [/mm] eine Basis von [mm] U_2,
[/mm]
[mm] k,m\in\IN.
[/mm]
Nun versuche zu zeigen, daß [mm] B:=(v_1,...,v_k,u_1,...,u_m) [/mm] eine Basis von V ist.
Zeige dazu zunächst,daß B ein Erzeugendensystem von V ist.
Dafür mußt Du zeigen, daß man jedes [mm] v\in [/mm] V als Linearkombination der Vektoren aus B schreiben kann.
Sei also [mm] v\in [/mm] V.
Was wissen wir über v?
Danach zeige die lineare Unabhängigkeit.
Was ist dafür eigentlich zu zeigen?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 So 08.12.2013 | | Autor: | Gina2013 |
Linearkombination wäre: [mm] v=\lambda1*v1+\lambda2*v2+....+\lambdak*vk+\lambdak*w1+......
[/mm]
[mm] +\lambda m*wm=\summe_{i=1}^{n}\lambdai [/mm] vi wi, [mm] (1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n), [mm] \lambda\in\IR
[/mm]
Und wenn alle Lambda´s gleich Null sind, dann sind die Vektoren linear unabhängig, [mm] \lambda\in [/mm] K.
Dann ist B eine Basis von V.
Ist das so ok für das erste Teil oder noch nicht?
Lg Gina
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> Linearkombination wäre:
> [mm]v=\lambda1*v1+\lambda2*v2+....+\lambdak*vk+\lambdak*w1+......[/mm]
> [mm] +\lambda [/mm] m*wm
Hallo,
ja, das ist eine Linearkombination.
Aber Du sollst in Deinem Beweis ja nicht erklären, was eine Linearkombination ist,
sondern Du mußt Deine Leser davon überzeugen, daß man jedes (!) [mm] v\in [/mm] V als Linearkombination der [mm] (v_1,...,v_k,w_1,...,w_m) [/mm] schreiben kann.
> [mm] =\summe_{i=1}^{n}\lambda [/mm] i vi wi
Das verstehe ich nicht.
> [mm](1\le[/mm] i [mm]\le[/mm]
> n), [mm]\lambda\in\IR[/mm]
>
> Und wenn alle Lambda´s gleich Null sind, dann sind die
> Vektoren linear unabhängig,
Wenn daraus, daß die Linearkombination 0 ergibt folgt, daß alle [mm] \lambdas [/mm] =0 sind, dann sind die Vektoren linear unabhängig.
(Wenn Du für alle lambdas die 0 hinschreibst, kommt natürlich 0 raus, völlig egal, ob sie abhaängig sind oder unabhängig.)
> [mm]\lambda\in[/mm] K.
> Dann ist B eine Basis von V.
> Ist das so ok für das erste Teil oder noch nicht?
Nein, es ist überhaupt nicht okay.
Ich hatte Dir doch den Beginn vorbereitet. (Wäre übrigens gut, wenn Du diesen per Zitierfunktion zitieren würdest. So wüßte jeder, woraum es geht.)
Wir waren bei "Sei [mm] v\in [/mm] V", und ich fragte Dich, was wir über v wissen.
Es ist doch eine Argumentationskette zu erstellen, an deren Ende man verstaht, warum man jedes v als Linearkombination der genannten Vektoren schreiben kann.
Das einfach zu behaupten, reicht nicht.
LG Angela
> Lg Gina
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 09.12.2013 | | Autor: | Gina2013 |
Ich glaube, dass ich wirklich kaum was weiß. Würde trotzdem die Aufgabe irgendwie verstehen. Weiß nur selber nicht, wo mein Problem ist.
Über v weißt man, dass v=u1+u2 ergibt, da uns die direkte Summe vorgegeben ist. Und das v ein Vektor aus B1 ist.
Stimmts? Oder habe ich was vergessen oder liege ich voll falsch?
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Hallo,
warum schreibst bzw. zitierst Du nicht den Anfang des Beweises mit?
Dann weiß man gleich, worum es geht.
> Über v weißt man, dass v=u1+u2 ergibt,
> da uns die
> direkte Summe vorgegeben ist.
Nein. Das ist so leider völlig falsch.
Man weiß dies:
wenn [mm] v\in V=U_1\oplus U_2,
[/mm]
dann gibt es Vektoren [mm] u_1\in U_1 [/mm] und [mm] u_2\in U_2 [/mm] so,
daß [mm] v=u_1+u_2.
[/mm]
Vielleicht meintest Du das auch.
Dann mußt Du es aber auch so schreiben.
> Und das v ein Vektor aus B1
> ist.
???
Wie kommst Du darauf?
v ist irgendein beliebiger Vektor aus V,
von welchem Du zeigen willst, daß man ihn mit den Elementen von [mm] B_1 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] schreiben kann.
LG Angela
> Stimmts? Oder habe ich was vergessen oder liege ich voll
> falsch?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Di 10.12.2013 | | Autor: | Gina2013 |
Tut mir leid, dass ich die verfügbaren Zeichen nicht benutzt habe. Es war mein Fehler.
v=u1+u2 damit ist gemeint, dass $ [mm] v=u_1+u_2. [/mm] $
Vielen Dank für die Hilfe.
Schöne Grüße
Gina
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