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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:41 Mo 28.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo zusammen,
ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
Es sei t [mm] \in \IR. [/mm] Welche Dimension hat der von
{ (1,2,t+2), (-1,t+1,t), (0,t,1)} aufgespannte Untervektorraum des
[mm] \IR [/mm] -Vektorraums von [mm] \IR^{3}?
[/mm]
Meine Idee:
Beh.: Die Dimension ist 3
z.zg.: sei a,b [mm] \in \IR
[/mm]
a(1,2,t+2) + b(-1,t+1,t) + c(0,t,1) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=b=c=0
dazu:
I -> 1a-1b+1c=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=b
II-> 2a+1b+bt+ct=0
III->2a+at+bt+c=0
I in II eingesetzt -> 3a+at+ct=0 (*)
I in III eingesetzt-> 2a+2at+c=0 (!)
(*)-(!)
a-at+ct-c=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a(t-1)=c(t-1) [mm] \Rightarrow [/mm] a=c (für t [mm] \not=1)
[/mm]
also haben wir schon mal: a=b=c (für t [mm] \not=1)
[/mm]
wenn wir jetzt von folgendem ausgehen:
a(1,2,t+2) + b(-1,t+1,t) = (0,t,1) (für t [mm] \not=1)
[/mm]
I a-b=0
II 2a+bt+b=t
III 2a+at+bt=1
nach I folgt wiederum, dass a=b, aber wenn a=b vorrausgesetzt ist stimmt z.B. II und III nicht überein, denn dann gilt:
nachII: 3a=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=0
nach III:2a+2at=1 [mm] \Rightarrow [/mm] a(1+t)=0,5
[mm] \Rightarrow [/mm] a= [mm] \bruch{0,5}{(1+t)} \not=0 [/mm] (für t [mm] \not=(-1))
[/mm]
bis hier hin kann man also schon mal auf l.u. schließen, wenn
t [mm] \not= [/mm] 1 oder (-1)
für t=1
setzt man hier für t nun 1 ein, so ist es das selbe Spiel
also aus I folgt a=b und aus II würde dann etwas Widersprüchliches zu III folgen
für t=(-1)
gilt das selbe wie für t=1
Wie siehts aus? Hab ich mich hier total verworren? Oder kommt bei diesem Durcheinander sogar etwas Richtiges heraus?
DANKE schon mal für eure Hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:33 Di 29.11.2005 | | Autor: | felixf |
Apropos, die gleiche Aufgabe gabs hier schonmal: https://matheraum.de/read?i=110231
> Hallo zusammen,
>
> ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
>
> Es sei t [mm]\in \IR.[/mm] Welche Dimension hat der von
> { (1,2,t+2), (-1,t+1,t), (0,t,1)} aufgespannte
> Untervektorraum des
> [mm]\IR[/mm] -Vektorraums von [mm]\IR^{3}?[/mm]
>
> Meine Idee:
>
> Beh.: Die Dimension ist 3
>
> z.zg.: sei a,b [mm]\in \IR[/mm]
...und c natuerlich auch 
> a(1,2,t+2) + b(-1,t+1,t) + c(0,t,1) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> a=b=c=0
>
> dazu:
>
> I -> 1a-1b+1c=0 [mm]\Rightarrow[/mm] a=b
...+0c=0
> II-> 2a+1b+bt+ct=0
> III->2a+at+bt+c=0
>
> I in II eingesetzt -> 3a+at+ct=0 (*)
> I in III eingesetzt-> 2a+2at+c=0 (!)
>
> (*)-(!)
> a-at+ct-c=0 [mm]\Rightarrow[/mm] a(t-1)=c(t-1) [mm]\Rightarrow[/mm] a=c (für
> t [mm]\not=1)[/mm]
>
> also haben wir schon mal: a=b=c (für t [mm]\not=1)[/mm]
> wenn wir jetzt von folgendem ausgehen:
>
> a(1,2,t+2) + b(-1,t+1,t) = (0,t,1) (für t [mm]\not=1)[/mm]
Warum gehst du davon aus?! Du hast a = b = c. Wieso setzt du dann c = -1 ein?
Betrachte doch die urspruenglichen Gleichungen mit a=b=c:
II -> 3a + 2at = 0
III -> 2a + 2at = 0.
Abziehen ergibt a = 0, also a = b = c = 0, und du bist fertig.
> I a-b=0
> II 2a+bt+b=t
> III 2a+at+bt=1
>
> nach I folgt wiederum, dass a=b, aber wenn a=b
> vorrausgesetzt ist stimmt z.B. II und III nicht überein,
> denn dann gilt:
>
> nachII: 3a=0 [mm]\Rightarrow[/mm] a=0
> nach III:2a+2at=1 [mm]\Rightarrow[/mm] a(1+t)=0,5
> [mm]\Rightarrow[/mm] a= [mm]\bruch{0,5}{(1+t)} \not=0[/mm] (für t [mm]\not=(-1))[/mm]
>
> bis hier hin kann man also schon mal auf l.u. schließen,
> wenn
> t [mm]\not=[/mm] 1 oder (-1)
Wieso schliesst du -1 aus? Das t nicht -1 ist hast du doch gar nicht benutzt?
> für t=1
>
> setzt man hier für t nun 1 ein, so ist es das selbe Spiel
> also aus I folgt a=b und aus II würde dann etwas
> Widersprüchliches zu III folgen
t = 1 einsetzen:
I -> a-b=0
II-> 2a+b+b+c=0
III->2a+a+b+c=0
Da a = b sind II und III gerade 4a+c = 0, also c = a/4. Wo ist da der Widerspruch?
> für t=(-1)
>
> gilt das selbe wie für t=1
Sicher nicht...
II-> 2a+b-b-c=0 => 2a=c
III->2a-a-b+c=0 => c=0 (unter Verwendung von a=b)
Also ist a=b=c=0.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:26 Di 29.11.2005 | | Autor: | oeli1985 |
Ah super, danke für die Ordnung und Korrektur in meinen Gedanken! 
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