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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Mi 20.07.2005 | | Autor: | mckayser |
Hallo!
Nachdem mir eben schon so toll geholfen wurde, versuche ich es gleich nochmal, hier Hilfe bei einer weiteren Schwierigkeit zu bekommen.
Eine Aufgabe fordert in Teil a) zunächst die Lösung des Homogenen und inhomogenen Gleichungssystems mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren. Dabei habe ich keine größeren Probleme. Teil b) will dann gern Basis von Kern f und Im f haben was auch funktioniert, dann fangen allerdings meine Probleme an:
A = [mm] \pmat{ 3 & 2 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -2 & -1 \\ 6 & 8 & 8 & -9 & 2 } [/mm] und c = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] sind gegeben.
Es soll dann nachdem Basis von Kern und Bild angegeben wurden "c als Linearkombination der Basisvektoren von Im f angegeben werden". Die Basisvektoren von Im f sind laut meiner Rechnung [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 6}, \vektor{2 \\ 2 \\ 8} [/mm] und [mm] \vektor{-3 \\ -2 \\ -9}
[/mm]
Ist es richtig, dass die Dimension des Bildes dann "3" ist? Was ist die Dimension des Kernes? Basis des Kernes ist laut meiner Berechnung [mm] \vektor{1/3 \\ -1/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{5/3 \\ -7/2 \\ 0 \\ -4 \\ 1 }
[/mm]
Des weiteren soll dann in Teil b) auch noch eine Aussage über Surjektivität, Injektivität und Bijektivität von f gemacht werden. Da hört es dann bei mir leider endgültig auf...
Ich hoffe, auf Hilfe eines wissenden Mitglieds: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Greetz, MC Kayser
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Hallo!
Also ich versuche mal einen Anfang:
> Eine Aufgabe fordert in Teil a) zunächst die Lösung des
> Homogenen und inhomogenen Gleichungssystems mit dem
> Gaußschen Eliminationsverfahren. Dabei habe ich keine
> größeren Probleme. Teil b) will dann gern Basis von Kern f
> und Im f haben was auch funktioniert, dann fangen
> allerdings meine Probleme an:
>
> A = [mm]\pmat{ 3 & 2 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -2 & -1 \\ 6 & 8 & 8 & -9 & 2 }[/mm]
> und c = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm] sind gegeben.
>
> Es soll dann nachdem Basis von Kern und Bild angegeben
> wurden "c als Linearkombination der Basisvektoren von Im f
> angegeben werden". Die Basisvektoren von Im f sind laut
> meiner Rechnung [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 6}, \vektor{2 \\ 2 \\ 8}[/mm]
> und [mm]\vektor{-3 \\ -2 \\ -9}[/mm]
Also, du weißt also nicht, wie man einen Vektor als Linearkombination von anderen Vektoren angibt? Das ist doch gar nicht so schwierig. Du stellst einfach ein LGS auf, wo auf der rechten Seite der darzustellende Vektor steht. Verstehst du, was ich meine? Und dann musst du das System einfach lösen, das schaffst du wahrscheinlich. 
> Ist es richtig, dass die Dimension des Bildes dann "3" ist?
Ich denke, schon. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was ist die Dimension des Kernes? Basis des Kernes ist laut
> meiner Berechnung [mm]\vektor{1/3 \\ -1/2 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{5/3 \\ -7/2 \\ 0 \\ -4 \\ 1 }[/mm]
Nun ja, wie war noch gleich die "Dimension" definiert? Ich würde vermuten, dass sie dann 2 ist, bin mir aber überhaupt nicht sicher.
> Des weiteren soll dann in Teil b) auch noch eine Aussage
> über Surjektivität, Injektivität und Bijektivität von f
> gemacht werden. Da hört es dann bei mir leider endgültig
> auf...
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") da weiß ich leider im Moment auch nichts zu...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo MC Kayser,
Der Rest ist jetzt ganz einfach.
Die Abblidung geht vom [mm] $\IR^5$ [/mm] in den [mm] $\IR^3$. [/mm] Wir wissen bereits, dass der Bildraum die Dimension 3 hat. Also muss das der [mm] $\IR^3$ [/mm] sein, und die Abblidung ist surjektiv.
Weiters wissen wir bereits, dass der Kern zweidimensional, insbesondere nicht 0 ist. Also ist die Abbildung nicht injektiv, und auch nicht bijektiv.
Liebe Grüße,
Holy Diver
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Do 21.07.2005 | | Autor: | mckayser |
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Greetz, MC Kayser
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Do 21.07.2005 | | Autor: | mckayser |
Da bin ich wieder )
Ich hab da doch noch ein weiteres Problem bei der Lösung der Teilaufgabe c). Ich soll nun alle Vektoren v [mm] \in \IR³ [/mm] bestimmen, die orthogonal zu c sind. Und: Geben Sie eine Basis von c [mm] \perp [/mm] := {v [mm] \in \IR³ [/mm] | (v,c) = 0 } an. Normieren Sie auf 1.
Also ich weiss, dass zwei Vektoren orthogonal zueinander sind, wenn (v,w) = 0 also ihr Skalarprodukt = 0 ist. Wenn die Länge der Vektoren dann noch 1 ist, handelt es sich um eine Orthonormalbasis, wenn ich mich nicht täusche.
Nur wie bekomme ich es jetzt hin, alle Vektoren zu finden, die orthogonal zu [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] sind. Wäre zum Beispiel [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 } [/mm] so ein Vektor? Das Skalarprodukt ergibt doch dann 0.
Kann mir wer weiterhelfen?
Greetz, MC Kayser
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Hallo nochmal,
Den Orthogonalraum zu berechnen ist weiters kein Problem, da dieser wieder ein Untervektorraum ist. Es ist also ausreichend eine Basis davon zu finden. Und das geht so: Die Definition des OR lautet
$ [mm] c^\perp [/mm] := [mm] \{v \in \IR^3 | (v,c) = 0 \} [/mm] $
Durch (v,c) = 0 wird ein lineares Gleichungssystem mit einer Gleichung definiert. Schreibe c als Zeilenvektor. Damit schlüpft er in die Rolle der Matrix A bei linearen Gleichungssystemen. Wie man leicht sieht, ist etwa
[mm] $v_1$ [/mm] = (1,1,0), [mm] $v_2$ [/mm] = (0,0,1) eine Basis.
In der Aufgabe hieß es noch man solle normieren. Also muss man [mm] $v_1$ [/mm] noch durch [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] dividieren. In diesem Fall haben wir dann bereits eine Orthonormalbasis gefunden. Das ist im Allgemeinen nicht der Fall. Da müsste man noch das Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt anwenden.
Liebe Grüße,
Holy Diver,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Do 21.07.2005 | | Autor: | mckayser |
Nochmals vielen Dank, war eine wirklich große Hilfe!!
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