Dimensionen lineare Abb. (Bew) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] U\subset [/mm] V ein Unterraum und [mm] v\in [/mm] V [mm] \backslash [/mm] U .(Sei V ein endlichdimensionaler VR über einem Körper [mm] \IK)
[/mm]
Zeigen Sie das gilt:
dim U = (dim V - 1) [mm] \gdw \exists [/mm] eine lineare Abb. L : V [mm] \to [/mm] V mit U=Kern(L) und L(v)=v. |
Hallo zusammen,
kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe weiterhelfen??
Blicke da nicht durch wie ich die Äquivalenz beweisen muss bzw. was zu tun ist, weiß schon, dass ich beide Richtungen [mm] "\Rightarrow" [/mm] und [mm] "\Leftarrow" [/mm] zu zeigen habe.
Brauche dringend Hilfe.
Viele Liebe grüße, der mathedepp_No.1
|
|
| |
|
> Sei [mm]U\subset[/mm] V ein Unterraum und [mm]v\in[/mm] V [mm]\backslash[/mm] U .(Sei
> V ein endlichdimensionaler VR über einem Körper [mm]\IK)[/mm]
> Zeigen Sie das gilt:
>
> dim U = (dim V - 1) [mm]\gdw \exists[/mm] eine lineare Abb. L : V
> [mm]\to[/mm] V mit U=Kern(L) und L(v)=v.
Hallo,
zunächst mal ein bißchen etwas vorweg:
U ist ein Unterraum von V.
Weil V endlich ist die Dimension von U endlich, und U hat eine Basis, bestehend aus Elementen von U.
Diese Basis kann nun durch Elemente aus V \ U zu einer Basis von V ergänzt werden. ("Basisergänzungssatz").
"==>" Nun überleg' Dir, daß Du eine Basis von U durch v zu einer Basis von V ergänzen kannst.
Dann weißt du, daß lineare Abb. durch Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt sind.
Nun mußt Du Deinen Basiselementen nur noch passende Werte zuweisen...
"<=="
Hast Du eine Voraussetzung vergessen?
So wie es dasteht, stimmt es nicht:
Es ist [mm] U:=<\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }> [/mm] < [mm] V:=\IR^3. [/mm] Es ist [mm] v:=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 } \in \IR^3 [/mm] \ [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }>.
[/mm]
Mit [mm] L\vektor{1 \\ 0 \\ 0 }:=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 },
[/mm]
[mm] L\vektor{0 \\ 1 \\ 0 }:=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 },
[/mm]
[mm] L\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }:=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }
[/mm]
Hat man eine lineare Abbildung mit kernL=U, L(v)=v.
Es ist aber 1=dim [mm] U\not= [/mm] dimV-1 =3-1=2.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo angela,
es muss heißen:
dim U = (dim V - 1) [mm]\gdw \exists[/mm] genau eine lineare Abb. L : V
[mm]\to[/mm] V mit U=Kern(L) und L(v)=v.
Aber mehr an vorraussetzungen habe ich nicht, eben nur wie schon gesagt, dass U ein Unterraum von V ist und dass [mm] v\in [/mm] V [mm] \backslash [/mm] U ist.
Mehr nicht....wie müsste es denn heißen damits gilt, oder stimmts so??
Viele GRüße, der mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
>
> dim U = (dim V - 1) [mm]\gdw \exists[/mm] genau eine lineare Abb. L
> : V
> [mm]\to[/mm] V mit U=Kern(L) und L(v)=v.
>
>
> Aber mehr an vorraussetzungen habe ich nicht, eben nur wie
> schon gesagt, dass U ein Unterraum von V ist und dass [mm]v\in[/mm]
> V [mm]\backslash[/mm] U ist.
>
> Mehr nicht....
Hallo,
nö, mehr brauchst Du mir nicht zu liefern.
Weil: "genau eine" ist seeeeeeeeeehr viel mehr als "eine"!
Für die Hinrichtung ändert sich nichts.
Für die Rückrichtung kannst Du einen Widerspruchsbeweis führen.
Nimm an, daß es genau eine Abb.L mit der geforderten Eigenschaft gibt und daß dimV-dimU>1. Dann gibt es (mindestens) einen Vektor w [mm] \in [/mm] V \ U, welcher von v linear unabhängig ist und nicht auf die Null abgebildet wird.
Somit gibt es mindestens zwei Möglichkeiten L(w) einen Wert zuzuweisen...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
hallo angela,
zu 1.:
ich weiß dass ich die Basis von U sei [mm] u_1 [/mm] , ..., [mm] u_k [/mm] zu einer Basis von V [mm] u_1 [/mm] ,..., [mm] u_k, [/mm] v´mit v [mm] \in [/mm] V [mm] \backslash [/mm] U ergänzen kann. Auch weiß ich dass eine lineare Abb. durch die Bilder ihrer Basis eindeutig bestimmt ist.
Aber :
> Nun mußt Du Deinen Basiselementen nur noch passende Werte zuweisen...
Verstehe ich noch nicht...:-(
und zu 2)
habe immernoch nicht verstanden wie ich meinen Widersprucksbeweis zu führen habe....:-( Tut mir leid.
Hilfst du mir nochmal??
VIele Grüße, der mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
> hallo angela,
>
> zu 1.:
>
> ich weiß dass ich die Basis von U sei [mm]u_1[/mm] , ..., [mm]u_k[/mm] zu
> einer Basis von V [mm]u_1[/mm] ,..., [mm]u_k,[/mm] v´mit v [mm]\in[/mm] V [mm]\backslash[/mm] U
> ergänzen kann. Auch weiß ich dass eine lineare Abb. durch
> die Bilder ihrer Basis eindeutig bestimmt ist.
>
> Aber :
>
> > Nun mußt Du Deinen Basiselementen nur noch passende Werte
> zuweisen...
>
> Verstehe ich noch nicht...:-(
Es ist nach Voraussetzung dimV=dimU+1.
D.h. wenn Du eine Basis [mm] (u_1,...u_k) [/mm] von U hast, und diese durch v [mm] \in [/mm] V \ U ergänzt, ist dies eine Basis von V. (Du könntest noch kurz drüber nachdenken, was Dir garantiert, daß [mm] v\not= [/mm] 0)
Nun möchtest Du eine lin.Abb. mit L(v)=v.
Da liegt es doch nahe, dem Basiselement v den Wert ??? zuzuweisen...
Also: L(v):=????
Eine weitere Forderung an die Abbildung ist KernL=U.
Also muß gelten [mm] L(u_i):=...
[/mm]
Du hast überhaupt keine Wahlmöglichkeiten!
>
> und zu 2)
>
> habe immernoch nicht verstanden wie ich meinen
> Widersprucksbeweis zu führen habe....
Das machen wir anschließend. Eins nach dem anderen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo,
erstmal danke, dass du dich gemeldet hast 
> Es ist nach Voraussetzung dimV=dimU+1.
> D.h. wenn Du eine Basis [mm](u_1,...u_k)[/mm] von U hast, und diese
> durch v [mm]\in[/mm] V \ U ergänzt, ist dies eine Basis von V. (Du
> könntest noch kurz drüber nachdenken, was Dir garantiert,
> daß [mm]v\not=[/mm] 0)
Da die vektoren [mm] u_1,...u_k [/mm] Basis von U bilden und diese l.u. sind kann ja v [mm] \in [/mm] V [mm] \backslash [/mm] U nit der Nullvektor liegen, da dieser sich ja als Linearkombination von den Basiselementen aus U darstellen lässt, nämlich wenn alle koeffizienten = 0 sind, somt wäre v = 0 [mm] \in [/mm] U und [mm] \Rightarrow v\not= [/mm] 0
Stimmt das so??
> Nun möchtest Du eine lin.Abb. mit L(v)=v.
> Da liegt es doch nahe, dem Basiselement v den Wert ???
> zuzuweisen...
> Also: L(v):=????
kann ich da einfach einen der Vektoren der kanonischen basis nehmen??
Also v= [mm] e_3 [/mm] z.b., aber ich weiß doch nicht ob dieser nicht schon in U ist??
> Eine weitere Forderung an die Abbildung ist KernL=U.
>
Also muß gelten [mm][mm] L(u_i):= [/mm] 0
> Du hast überhaupt keine Wahlmöglichkeiten!
Stimmt das so??
viele liebe Grüße, mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
>
> > Es ist nach Voraussetzung dimV=dimU+1.
> > D.h. wenn Du eine Basis [mm](u_1,...u_k)[/mm] von U hast, und
> diese
> > durch v [mm]\in[/mm] V \ U ergänzt, ist dies eine Basis von V. (Du
> > könntest noch kurz drüber nachdenken, was Dir garantiert,
> > daß [mm]v\not=[/mm] 0)
>
> Da die vektoren [mm]u_1,...u_k[/mm] Basis von U bilden und diese
> l.u. sind kann ja v [mm]\in[/mm] V [mm]\backslash[/mm] U nit der Nullvektor
> liegen, da dieser sich ja als Linearkombination von den
> Basiselementen aus U darstellen lässt, nämlich wenn alle
> koeffizienten = 0 sind, somt wäre v = 0 [mm]\in[/mm] U und
> [mm]\Rightarrow v\not=[/mm] 0
>
> Stimmt das so??
Im Prinzip schon. Es sind nur überflüssig viele Worte:
U ist Unterraum, also ist 0 [mm] \in [/mm] U und somit nicht in V \ U.
>
> > Nun möchtest Du eine lin.Abb. mit L(v)=v.
> > Da liegt es doch nahe, dem Basiselement v den Wert ???
> > zuzuweisen...
> > Also: L(v):=????
>
> kann ich da einfach einen der Vektoren der kanonischen
> basis nehmen??
> Also v= [mm]e_3[/mm] z.b., aber ich weiß doch nicht ob dieser nicht
> schon in U ist??
Na, Du bist drollig! Ziel ist doch, daß man hat L(v)=v.
Und da willst Du sagen [mm] L(v):=e_3 [/mm] ????
Was mußt Du sagen? L(v):=... ????? ?????
>
>
> > Eine weitere Forderung an die Abbildung ist KernL=U.
> >
> Also muß gelten [mm][mm]L(u_i):=[/mm] 0
Das stimmt. Wenn Du jedes Basiselement von U auf die Null abbildest, hast Du KernL=U. Anders geht es gar nicht.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Was mußt Du sagen? L(v):=... ????? ?????
Also dann L(v):= v ?
aber das ist doch das was ich zeigen will?
oder, ich glaub ich habs, da eine lineare Abb. durch die bilder ihrer Basis eindeutig bestimmt ist muss L(v) = v sein denn von v weiß ich ja dass es nicht in U liegt....
oder??Glaub ich steh aufm schlauch....
|
|
|
| |
|
> > Was mußt Du sagen? L(v):=... ????? ?????
>
>
> Also dann L(v):= v ?
>
> aber das ist doch das was ich zeigen will?
Du willst zeigen, daß es (genau) eine lineare Abb.L gibt mit L(v)=v.
Da wärest Du doch schön blöd, wenn definieren würdest L(v):=irgendwasanderes.
Denn diese Abbildung mit irgendwasanderes wäre gewiß nicht das,was Du suchst.
> oder, ich glaub ich habs, da eine lineare Abb. durch die
> bilder ihrer Basis eindeutig bestimmt ist muss L(v) = v
> sein denn von v weiß ich ja dass es nicht in U liegt....
und daß von der linearen Abbildung gefordert ist, daß sie v auf v abbildet.
Nochmal: DASS so eine Abb. existiert, zeigst Du, indem Du sie so definierst. Das ist ja möglich.
Daß es GENAU eine gibt, ergibt sich dadurch, daß die lineare Abbildung durch die Werte auf ihrer Basis eindeutig bestimmt ist, und Du hier keinerlei Wahlmöglichkeiten hast, weil die Basiselemente von U auf Null abgebildet werden müssen, und für v hast Du auch Vorgaben.
Durchdenk Dir das sehr genau. Wenn Du meinst, daß Du es verstanden hast, versuch Dich an der Rückrichtung.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Für die Rückrichtung kannst Du einen Widerspruchsbeweis führen.
> Nimm an, daß es genau eine Abb.L mit der geforderten Eigenschaft gibt > und daß dimV-dimU>1. Dann gibt es (mindestens) einen Vektor w V \ U, > welcher von v linear unabhängig ist und nicht auf die Null abgebildet
> wird.
> Somit gibt es mindestens zwei Möglichkeiten L(w) einen Wert
> zuzuweisen...
....nämlich einmal L(w) = v und L(w) = w somit wäre Die abblidung nicht mehr eindeutig, bzw. wäre es keine Abbildung mehr...
seh ich das richtig??
Viele Grüße, mathedepp_No.1
|
|
|
| |
|
> > Für die Rückrichtung kannst Du einen Widerspruchsbeweis
> führen.
> > Nimm an, daß es genau eine Abb.L mit der geforderten
> Eigenschaft gibt > und daß dimV-dimU>1. Dann gibt es
> (mindestens) einen Vektor w V \ U, > welcher von v linear
> unabhängig ist und nicht auf die Null abgebildet
> > wird.
> > Somit gibt es mindestens zwei Möglichkeiten L(w) einen Wert
> > zuzuweisen...
>
> ....nämlich einmal L(w) = v und L(w) = w somit wäre Die
> abblidung nicht mehr eindeutig, bzw. wäre es keine
> Abbildung mehr...
>
> seh ich das richtig??
Ich würde es so formulieren: es geht eindeutig in die richtige Richtung!
Bzgl. der Basisvektoren von U haben wir keine Wahl: sämtliche lineare Abbildungen, die die geforderten Bedingungen erfüllen, müssen diese Vektoren auf 0 abbilden.
Ebenso haben wir für v keine Wahl: v muß auf v abgebildet werden.
Aber für w können wir uns aussuchen, ob w auf w oder auf v abgebildet werden soll.
Also gibt es zwei lineare Abbildungen, die die Bedingungen erfüllen:
L mit L(v):=v, L(w):=w, [mm] L(u_i):=0
[/mm]
und
L' mit L'(v):=v, L'(w):=V, [mm] L(u_i):=0.
[/mm]
Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, daß es genau eine solche Abbildung gibt.
Also kann nicht dimV-dimU>1 <==> dimU<dimV-1 sein.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Vielen Dank Angela, habs verstanden!!!
Wenn ich dich nicht hätte....
vielleicht hast du ja noch Lust und was Zeit in meine anderen Post reinzuschauen....
Viele Liebe Grüße.... mathedepp
|
|
|
|
