Dimensionsbestimmung < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Mi 18.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | | Sei [mm] R_d [/mm] der K-Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad d in den Unbestimmten [mm] X_0,...,X_n. [/mm] Dann ist die Dimension von [mm] R_d [/mm] gerade [mm]{n+d \choose d}[/mm]. |
Nabend Leute,
ich würde nur gerne wissen, wie man auf eben diese Dimension des [mm] R_d [/mm] kommt, da wir das in der Vorlseung nicht bewiesen haben mit dem Hinweis es sei im Prinzip klar. Mir isses aber überhaupt nicht klar, als ichs mir nochmal angeschaut hab. Daher meine Frage bzw. eher Bitte mir das schrittweise zu erklären wie man darauf kommt. Ich mein das muss ja mit kombinatorischen Mitteln irgendwie zu schaffen sein. Nur will mir das selber nicht gelingen. Mein bester Ansatz bisher war dim [mm] R_d=\sum_{d=0}^{n}[/mm] [mm]{n+1 \choose d}[/mm] weil ich ja n+1 Elemente bzw. Unbestimmte habe und daraus quasi d Elemente ziehe,d.h. ich fasse das im Prinzip als Urnenmodell auf bei dem ich ziehe mit zurücklegen. Das stimmt aber nicht.
Kann mir da jemand weiterhelfen? Danke schon mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Mi 18.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]R_d[/mm] der K-Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad d
> in den Unbestimmten [mm]X_0,...,X_n.[/mm] Dann ist die Dimension von
> [mm]R_d[/mm] gerade [mm]{n+d \choose d}[/mm].
>
> ich würde nur gerne wissen, wie man auf eben diese
> Dimension des [mm]R_d[/mm] kommt, da wir das in der Vorlseung nicht
> bewiesen haben mit dem Hinweis es sei im Prinzip klar. Mir
> isses aber überhaupt nicht klar, als ichs mir nochmal
> angeschaut hab. Daher meine Frage bzw. eher Bitte mir das
> schrittweise zu erklären wie man darauf kommt.
Ueberleg dir doch, wie eine Basis von [mm] $R_d$ [/mm] aussieht. Dies sind ja die Monome, deren Exponentensumme gerade $d$ ist. Was den Tupeln [mm] $(i_0, \dots, i_n)$ [/mm] mit [mm] $\sum_{j=0}^n i_j [/mm] = d$ und [mm] $i_j \in \IN$ [/mm] entspricht.
Und die Anzahl von solchen Tupeln ist [mm] $\binom{n + d}{d}$. [/mm] Sei dafuer $r(d, n)$ die Anzahl solcher Tupel. Die Formel $r(d, n) = [mm] \binom{n + d}{d}$ [/mm] kannst du dann mit Induktion nach $n$ beweisen. Ist $n = 0$, so gibt es nur genau ein Tupel, womit $r(d, n) = 1 = [mm] \binom{0 + d}{d}$ [/mm] ist.
Ist nun $n [mm] \ge [/mm] 0$, so ist $r(d, n + 1) = [mm] \sum_{i=0}^d [/mm] r(i, n)$ (fuer jedes $i$ laesst sich die letzte Komponente des Tupels genau auf eine Weise festlegen, naemlich mit dem Wert $d - i$, damit die Summe $d$ herauskommt). Jetzt kannst du nachrechnen, dass $r(d, n + 1) = [mm] \binom{n + 1 + d}{d}$ [/mm] ist wenn $r(i, n) = [mm] \binom{n + i}{i}$ [/mm] ist.
> Ich mein
> das muss ja mit kombinatorischen Mitteln irgendwie zu
> schaffen sein. Nur will mir das selber nicht gelingen. Mein
> bester Ansatz bisher war dim [mm]R_d=\sum_{d=0}^{n}[/mm] [mm]{n+1 \choose d}[/mm]
In der Formel ist $d$ doppelt belegt. Irgendwas stimmt da nicht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Do 19.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Also mal wieder die gute alte Induktion :). Okay also vielen Dank nur ich glaub ja, dass die Dimension von [mm] R_d [/mm] gerade [mm]{n+d \choose d}[/mm] ist und möchte es jetzt nicht unbedingt mittels dieser etwas aufwenidigeren Induktion beweisen. Es geht mir ja nur darum nachzuvollziehen, dass die Dimension so sein muss wie sie eben ist. Und da unser Prof meinte es wär ganz einfach zu verstehen, wenn man sich der Kombinatorik bedient, ich das aber irgendwie nich so ganz verstehe wollt ich hier mal nachfragen. Wie würdest du das einfach nur in Worten erklären dass die Dimension unter Zuhilfenahme der Kombinatorik gerade so sein muss?? Dank dir.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:15 Do 19.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also mal wieder die gute alte Induktion :). Okay also
> vielen Dank nur ich glaub ja, dass die Dimension von [mm]R_d[/mm]
> gerade [mm]{n+d \choose d}[/mm] ist und möchte es jetzt nicht
> unbedingt mittels dieser etwas aufwenidigeren Induktion
> beweisen.
So aufwendig ist das gar nicht ;) Ausserdem ist das gerade Kombinatorik.
> Es geht mir ja nur darum nachzuvollziehen, dass
> die Dimension so sein muss wie sie eben ist. Und da unser
> Prof meinte es wär ganz einfach zu verstehen, wenn man
> sich der Kombinatorik bedient, ich das aber irgendwie nich
> so ganz verstehe wollt ich hier mal nachfragen. Wie
> würdest du das einfach nur in Worten erklären dass die
> Dimension unter Zuhilfenahme der Kombinatorik gerade so
> sein muss?? Dank dir.
Nun, machen wir's anders. Du willst die Menge [mm] $\{ (a_0, \dots, a_n) \in \IN^{n+1} \mid \sum_{i=0}^n a_i = d \}$ [/mm] zaehlen. Das sind ja gerade die Moeglichkeiten, $d$ (nicht unterscheidbare) Kugeln auf $n + 1$ Saecke zu verteilen.
Um die Anzahl dieser Moeglichkeiten zu zaehlen, nimmst du $(n + 1) + (d - 1) = n + d$ Kugeln und legst sie der Reihe nach hin. Jede Moeglichkeit, $(n + 1) - 1 = n$ von diesen auszuwaehlen, entspricht nun einer Moeglichkeit, $d$ Kugeln auf $n + 1$ Saecke zu verteilen: waehlst du die $n$ Kugeln [mm] $a_1 [/mm] < [mm] a_2 [/mm] < [mm] \dots [/mm] < [mm] a_n$ [/mm] aus, so kommen in den ersten Sack die Kugeln $1, [mm] \dots, a_1 [/mm] - 1$, in den zweiten Stack die Kugeln [mm] $a_1 [/mm] + 1, [mm] \dots, a_2 [/mm] - 1$, in den dritten Sack die Kugeln [mm] $a_2 [/mm] + 1, [mm] \dots, a_3 [/mm] - 1$, etc., und in den $n + 1$-ten Sack die Kugeln [mm] $a_n [/mm] + 1, [mm] \dots, [/mm] n + d$.
Damit gibt es [mm] $\binom{n + d}{n} [/mm] = [mm] \binom{n + d}{d}$ [/mm] Moeglichkeiten.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Do 19.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Ja genauso hab ich das gemeint. Vielen Dank. Könntest du noch etwas genauer ausführen wieso ich gerade (n+1)+(d-1)=n+d Kugeln nehme und wieso gerade die Auswahl von n dieser Kugeln einer Möglichkeit entspricht? Die gesamte Anzahl der Möglichkeiten is mir auch noch nich hundertprozentig klar. Wie kommst du auf [mm] \binom{n+d}{n} [/mm] und weshalb ist das dann gleich [mm] \binom{n+d}{d}?? [/mm] Danke für die Erklärung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:43 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja genauso hab ich das gemeint. Vielen Dank. Könntest du
> noch etwas genauer ausführen wieso ich gerade
> (n+1)+(d-1)=n+d Kugeln nehme und wieso gerade die Auswahl
> von n dieser Kugeln einer Möglichkeit entspricht?
Nein, das darfst du dir selber ueberlegen. Zur Verdeutlichung nimm dir doch mal konkrete (nicht zu grosse) Werte fuer $n$ und $d$, und ueberleg es dir in diesem konkreten Beispiel.
> Die
> gesamte Anzahl der Möglichkeiten is mir auch noch nich
> hundertprozentig klar. Wie kommst du auf [mm]\binom{n+d}{n}[/mm] und
Weil es [mm] $\binom{n + d}{n}$ [/mm] $n$-elementige Teilmengen einer $(n + d)$-elementigen Menge gibt. Das solltest du aber auch wissen.
> weshalb ist das dann gleich [mm]\binom{n+d}{d}??[/mm] Danke für die
> Erklärung.
Weil [mm] $\binom{a}{b} [/mm] = [mm] \binom{a}{a - b}$ [/mm] ist fuer $0 [mm] \le [/mm] b [mm] \le [/mm] a$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Sa 21.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay wahrscheinlich stand ich etwas aufm Schlauch :). Vielen Dank nochmal.
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