Dimensionsformel < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Beweis:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo 
Ich bin grad am Beweis für die Dimensionsformel für
lineare Abbildungen drann. Also ich verstehe die logischen Schritte die gezogen wurden. Nur bei dem rot-unterstrichenen (siehe Link) fehlt mir das letzte Quäntchen Verständnis. Ich sehe, dass man sich durch die
[mm] w_i=....-Abbildungen [/mm] genau die richtigen v's aus der Basis von V "rausfischt"....hmmm...kann mir das jemand noch mal in seinen Worten erklären ^^....
Achso...da hätte ich noch eine Frage...
Warum kann man eigentlich den Kern einfach so zu einer Basis des ganzen Vektorraums ergänzen....ich mein...der Kern...das sind doch die Lösungen von Ax=0 ... der
f(x)=0....wie mans nimmt....hmmm....ich wäre über hilfe
sehr dankbar ^^----
Vielen Dank im Voraus!!!
Beste Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
Wenn [mm]f : V \to W[/mm] ist, dann ist kern(f) ein Untervektorraum von V und im(f) ein Untervektorraum von W.
Deswegen kann man Basen in kern(f) finden (denn jeder Vektorraum hat ja eine Basis) und diese kann man dann zu einer Basis von ganz V ergänzen - oder genauer: die Basis von kern(f) ist ja in V ein linear unabhängiges System und nach dem Austauschsatz von Steinitz kann man jedes linear unabhängige System zu einer Basis ergänzen (wobei dieser Satz nur für endlichdimensionale VR gilt, aber das ist ja hier der Fall).
Und zu der anderen Frage (bzgl. der w_is): Die sind ja genau so gewählt, dass sie eine Basis von im(f) bilden (ok, die Antwort bringt dich nicht wirklich weiter ^^).
Anders ausgedrückt bedeutet der Dimensionssatz, dass ich in einem VR eine Basis finden kann, so dass die eine Hälfte der Basen eine Basis von kern(f) ist und die andere Hälfte, wenn ich noch f auf sie anwende, eine Basis von im(f) ist.
Und deswegen funktioniert der Beweis auch. Wenn ich also schon eine Basis von kern(f) habe, dann wird jede Ergänzung zu einer Basis von ganz V schon "die richtige" Ergänzung sein, also eine deren Bilder mir im(f) aufspannen.
Die Begründung dafür ist weiter im Beweis angegeben. Wenn ich einen Vektor aus V als Linearkombination dieser Basisvektoren schreibe und dann f drauf anwende, dann kann man ja wegen der Linearität von f das f in diese Linearkombination sozusagen "reinziehen" und hat dann eine Linearkombination aus den Bildern der Basis. Und die erste Hälfte dieser Linearkombination "verschwindet" sozusagen, da diese Basen ja den kern(f) aufspannen. Also wird jedes Bild eine Vektors aus V nur durch die Bilder der zweiten Hälfte dargestellt.
Ich glaub das war jetzt etwas zu ausführlich, aber egal ^^
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Da Kern f ein Untervektorraum ist, hat Kern f Vektorraum-Eigenschaften und somit eine Basis.
Diese besitzt nur lin. unabh. Elemente, die natürlich in ganz V ebenfalls lin. unabh. sind und damit schon eine Teilbasis von V bilden, die nur noch durch weitere lin. unabh. Elemente ergänzt werden muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mo 01.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Man kann das ganze auch so formulieren:
Wir schreiben [mm] $V=\ker\varphi\oplus [/mm] U$, $U$ ist in deinem Fall einfach der UVR mit der Basis [mm] $\{v_{k+i}\}_{i=1}^{n-k}$. [/mm] Offensichtlich ist dann [mm] $\dim V=\dim\ker\varphi [/mm] + [mm] \dim [/mm] U$, wir müssen nur noch zeigen dass [mm] $\dim U=\dim\operatorname{im}\varphi$ [/mm] ist.
Es ist aber (!) die Einschränkung [mm] $\varphi|_U:U\to\operatorname{im} \varphi$ [/mm] ein Isomorphismus, d.h. bijektiv, also insbesondere [mm] $\dim U=\dim\operatorname{im}\varphi$.
[/mm]
Preisfrage: Warum schreibt man nicht einfach [mm] $V=\ker\varphi\oplus\operatorname{im}\varphi$?
[/mm]
(Das ist zugegebenermaßen alles ein bischen abstrakter, aber sehr kurz und präzise. Wenn du es nicht gleich verstehst dann ignorier es lieber erstmal)
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hm...ich glaub ich formuliere das ganze mal etwas anders..
warum muss ich f auf [mm] v_k+1,...,v_n [/mm] anwenden....
Warum brauche ich diese [mm] w_i's.... [/mm]
geht der Beweis nicht auch einfach mit [mm] (v_k+1,...,v_n)???
[/mm]
Warum ist es geschickt f auf [mm] v_k+1,...,v_n [/mm] anzuwenden..?
Warum muss man es anwenden???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:32 Mo 01.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> warum muss ich f auf [mm]v_k+1,...,v_n[/mm] anwenden....
Also müssen tun wir gar nix. Die Frage ist warum machen wir es so?
Wenn wir Zeigen wollen dass eine VR eine bestimmte Dimension $n$ hat, geht das z.B. indem wir einfach eine Basis mit $n$ Elementen hinschreiben. Ergo: wenn wir zeigen wollen das [mm] $\operatorname{im}\varphi$ [/mm] die Dimension $n-k$ hat, können wir dies Beweisen, indem wir einfach eine Basis mit $n-k$ Elementen hinschreiben.
> Warum brauche ich diese [mm]w_i's....[/mm]
> geht der Beweis nicht auch einfach mit [mm](v_k+1,...,v_n)???[/mm]
Dein [mm] $\varphi$ [/mm] ist ne Abbildung von $V$ nach $W$. Es ist [mm] $\operatorname{im}\varphi\subset [/mm] W$, d.h. eine Basis von [mm] $\operatorname{im}\varphi$ [/mm] muss aus Vektoren aus W, nicht aus V, bestehen. Die Aussage
[mm] "$\{v_{k+i}\}$ [/mm] ist eine Basis von [mm] $\operatorname{im}\varphi$"
[/mm]
macht also, falls [mm] $V\ne [/mm] W$ ist, überhaupt keinen Sinn.
> Warum ist es geschickt f auf [mm]v_k+1,...,v_n[/mm] anzuwenden..?
Weil es funktioniert 
Edit: Wie ich oben bereits erwähnt habe: [mm] $\varphi|_U:U\to\operatorname{im}\varphi$ [/mm] ist ein Isomorphismus. Isomorphismen bilden Basen auf Basen ab. Weil also [mm] $\{v_i\}$ [/mm] eine Basis von $U$ ist, ist [mm] $\{\varphi(v_i)\}$ [/mm] eine von [mm] $\operatorname{im}\varphi$.
[/mm]
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Um noch etwas anderes anszusprechen...
Zu dem mit Beweis [mm] Bild(f)=L((w_{1},...,w_{n-k})
[/mm]
Mit ist f(....) = [mm] lambda_{k+q} w_{1} [/mm] + ... + [mm] lamda_{n}w_{n-k}
[/mm]
ist doch streng genommen nur bewiesen, dass ein beliebiges Element
von Bild(f) ein Element der linearen Hülle ist.
Ist das gleichbedeutend mit der Tatsache Bild(f)=L(...) ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Mo 01.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> Um noch etwas anderes anszusprechen...
> Zu dem mit Beweis [mm]Bild(f)=L((w_{1},...,w_{n-k})[/mm]
> Mit ist f(....) = [mm]lambda_{k+q} w_{1}[/mm] + ... +
> [mm]lamda_{n}w_{n-k}[/mm]
>
> ist doch streng genommen nur bewiesen, dass ein beliebiges
> Element
> von Bild(f) ein Element der linearen Hülle ist.
Gut, dass du darüber nachdenkst. Um [mm] $\operatorname{im}\varphi=L(w_i)$ [/mm] zu zeigen, muss folgendes beweisen:
1) [mm] $\operatorname{im}\varphi\subset L(w_i)$
[/mm]
2) [mm] $\operatorname{im}\varphi\supset L(w_i)$
[/mm]
Mit der Gleichung [mm] $\varphi\left(\sum_{i=1}^n\lambda_iv_i\right)=\sum_{i=k+1}^n\lambda_iw_i$ [/mm] wird tatsächlich beides gleichzeitig bewiesen:
1) Lies es von links nach rechts, dann heißt es "Das Bild eines beliebigen Vektors aus $V$ liegt in [mm] $L(w_{k+i})$.
[/mm]
2) Lies es von rechts nach links, dann heißt es "Zu einem beliebigen $w$ Vektor aus [mm] $L(w_{k+i})$ [/mm] gibt es ein Element in [mm] $v\inV$, [/mm] sodass $f(v)=w$ ist.
Damit ist alles gezeigt.
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