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| Aufgabe | a) Gibt es eine Lineare Abbildung [mm] f:R^4 [/mm] ----> [mm] R^5 [/mm] mit dem kern f=2 und dim bild f=2?
b) Gibt es eine Lineare Abbildung [mm] g:R^4 [/mm] ----> [mm] R^5 [/mm] mit dem kern g=2 und dim bild g=3?
Geben Sie jeweils ein Beispiel an oder beweisen Sie die Nichtexistens. |
Hallo,
ich bin mir ein wenig Unsicher aber laut dimensionsformel:
a) 4= dim [mm] R^4 [/mm] = dimkern(f)+dim Bild(f)=2+2=4
also zu a) gibt es keine weil wir ja in den [mm] R^5 [/mm] wollen.
b) 4= dim [mm] R^4 [/mm] = dimkern(g)+dim Bild(g)=2+3=5
und hier das stimmt also gibt es eine lineare abbildung? stimmt das?
falls diese beiden Aussagen stimmen, wie kann ich das per Bsp zeigen? kenne keine für dafür bzw für die Nichtexistens.kann mir da jmd helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:03 Do 10.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ellegance88,
> a) Gibt es eine Lineare Abbildung [mm]f:R^4[/mm] ----> [mm]R^5[/mm] mit dem
> kern f=2 und dim bild f=2?
>
> b) Gibt es eine Lineare Abbildung [mm]g:R^4[/mm] ----> [mm]R^5[/mm] mit dem
> kern g=2 und dim bild g=3?
> ich bin mir ein wenig Unsicher aber laut dimensionsformel:
Wenn es eine solche Abbildung gibt, muss für sie gelten:
>
> a) 4= dim [mm]R^4[/mm] = dimkern(f)+dim Bild(f)=2+2=4
Die Dimensionsformel schließt also die Existenz einer solchen Abbildung nicht aus.
> also zu a) gibt es keine weil wir ja in den [mm]R^5[/mm] wollen.
Das ist falsch. Es gibt eine solche Abbildung.
Gib also ein Beispiel für ein solches $f$ an!
Vielleicht hilft es dir dabei, dass es zur Angabe einer linearen Abbildung genügt, die Bilder der Vektoren einer Basis (z.B. der Standardbasis von [mm] $\IR^4$) [/mm] festzulegen. Existenz und Eindeutigkeit der linearen Abbildung liefert dir dann ein Satz aus der Vorlesung.
> b) 4= dim [mm]R^4[/mm] = dimkern(g)+dim Bild(g)=2+3=5
> und hier das stimmt also gibt es eine lineare abbildung?
> stimmt das?
Natürlich stimmt 4=5 nicht. Also kann es keine lineare Abbildung $g$ mit den gewünschten Eigenschaften geben.
(Selbst wenn die Dimensionsformel die Existenz einer Abbildung nicht ausschließt, musst du die tatsächliche Existenz noch beweisen.)
> falls diese beiden Aussagen stimmen, wie kann ich das per
> Bsp zeigen? kenne keine für dafür bzw für die
> Nichtexistens.kann mir da jmd helfen?
Ein Beispiel ist natürlich nur gefragt, wenn du die Existenz einer solchen Abbildung behauptest.
Viele Grüße
Tobias
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danke, aber irgendwie verstehe ich es trotzdem nicht.
also a) ist eine Lineare Abbildung weil 4=4 rauskommt nun muss ich das beweisen, weil ich es ja behaupte.
b) ist keine lineare Abbildung weil 4=5 rauskommt und das ist schwachsinnig. da muss ich ein gegenbsp zeigen.
ich habe jetzt im Skript mal nachgelesen, da stehen zwei Bedingungen für Lineare Abbildungen.
B1: f(v+w) = f(v) +f(w) für alle v,w ∈ V
B2: f(λv) =λf(v) für alle λ ∈ K und alle v ∈ V
aber wie soll ich das zeigen bzgl der Aufgabenstelltung bzw der Standardbasen?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Do 10.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> also a) ist eine Lineare Abbildung weil 4=4 rauskommt nun
Nein, da ist überhaupt keine lineare Abbildung gegeben.
Du sollst zeigen, dass so eine lineare Abbildung $f$ existiert. Und das tut man am einfachsten, indem man selbst eine angibt.
Mehr dazu s.u.
> b) ist keine lineare Abbildung weil 4=5 rauskommt und das
> ist schwachsinnig.
Auch hier ist keine Abbildung gegeben. Du sollst zeigen, dass keine lineare Abbildung $g$ mit den genannten Eigenschaften existiert.
Und genau das hast du eigentlich schon getan: Du hast angenommen, es gäbe so eine lineare Abbildung $g$ und dann mit der Dimensionsformel einen Widerspruch hergeleitet. Also war die Annahme, es gäbe so eine lineare Abbildung $g$, falsch. Es gibt also keine solche lineare Abbildung $g$.
> da muss ich ein gegenbsp zeigen.
Nein, du brauchst bei b) kein Beispiel. Du hast ja (zusammen mit den von mir ergänzten Erläuterungen) schon gezeigt, dass es keine lineare Abbildung $g$ mit den unter b) genannten Eigenschaften geben kann.
> ich habe jetzt im Skript mal nachgelesen, da stehen zwei
> Bedingungen für Lineare Abbildungen.
>
> B1: f(v+w) = f(v) +f(w) für alle v,w ∈ V
>
> B2: f(λv) =λf(v) für alle λ ∈ K und alle v ∈ V
>
> aber wie soll ich das zeigen bzgl der Aufgabenstelltung bzw
> der Standardbasen?
Ich gebe dir mal ein Beispiel, wie man eine lineare Abbildung [mm] $h\colon\IR^3\to\IR^2$ [/mm] durch Angabe der Bilder einer Basis (hier: der Standardbasis) von [mm] $\IR^3$ [/mm] angeben kann:
$h((1,0,0))=(0,0)$
$h((0,1,0))=(1,0)$
$h((0,0,1))=(0,1)$
Ein Satz aus der Vorlesung sagt dir nun, dass es genau eine lineare Abbildung [mm] $h\colon\IR^3\to\IR^2$ [/mm] gibt, die diesen drei Gleichungen genügt.
Sie genügt für alle [mm] $(x,y,z)\in\IR^3$ [/mm] der Gleichungskette
[mm] $h((x,y,z))=h(x*(1,0,0)+y*(0,1,0)+z*(0,0,1))=h(x*(1,0,0))+h(y*(0,1,0))+h(z*(0,0,1))=x*h((1,0,0))+y*h((0,1,0))+z*h((0,0,1))=x*(0,0)+y*(1,0)+z*(0,1)=(y,z)\$.
[/mm]
Kannst du Kern und Bild dieser linearen Abbildung bestimmen?
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achso ok. danke ich glaube ich habe es verstanden.
zum Kern das ist doch die Lösungsmenge des homogenen LGS
Das Bild bestimme ich doch in dem ich das Gaußverfahren anwende und mir die zeilen angucke die linear unabhängig sind.
ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Do 10.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> achso ok. danke ich glaube ich habe es verstanden.
> zum Kern das ist doch die Lösungsmenge des homogenen LGS
>
> Das Bild bestimme ich doch in dem ich das Gaußverfahren
> anwende und mir die zeilen angucke die linear unabhängig
> sind.
>
> ist das richtig?
Es geht doch um diese lineare Abbildung [mm] h:\IR^3 \to \IR^2 [/mm] mit
$ h((1,0,0))=(0,0) $
$ h((0,1,0))=(1,0) $
$ h((0,0,1))=(0,1) $
Man kann doch sofort ablesen, was kern(h) und bild(h) sind, ohne Rechnen !!!
FRED
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