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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Do 01.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Seien [mm] A_1 [/mm] , [mm] A_2 [/mm] affine Teilräume und [mm] A_1 \cap A_2 \not=0
[/mm]
=> [mm] dim(A_1) [/mm] + [mm] dim(A_2) [/mm] = [mm] dim(A_1 \cap A_2 [/mm] ) + dim [mm] (()_{aff}) [/mm] |
[mm] dm(A_1 [/mm] ) = [mm] dim(V_{A_1}) [/mm]
[mm] dm(A_2 [/mm] ) = [mm] dim(V_{A_2}) [/mm]
nun man sieht [mm] V_{A_1 \cap A_2} [/mm] = [mm] V_{A_1} \cap V_{A_2}
[/mm]
Aber wie zeige ich [mm] V_{_{aff}} [/mm] = [mm] V_{A_1} [/mm] + [mm] V_{A_2} [/mm] ??
wobei mit dem [mm] V_A [/mm] := [mm] \{ a_2 - a_1 | a_1 , a_2 \in A \} [/mm] der lineare Teilraum geimeint ist
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mal wieder,
> Aber wie zeige ich [mm]V_{_{aff}}[/mm] = [mm]V_{A_1}[/mm] + [mm]V_{A_2}[/mm] ??
Da [mm] $A_1\cap A_2\not=\emptyset$ [/mm] existiert ein [mm] $a\in A_1\cap A_2$.
[/mm]
Es gilt:
[mm] $V_{_{aff}}=_{aff}-a$
[/mm]
[mm] $V_{A_1}+V_{A_2}=(A_1-a)+(A_2-a)$.
[/mm]
Zu zeigen ist also
[mm] $_{aff}-a=(A_1-a)+(A_2-a)$
[/mm]
bzw.
[mm] $_{aff}=A_1+A_2-a$.
[/mm]
Hilft das schon weiter?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 So 18.11.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo
Ich verstehe nicht woher rührt:
> $ [mm] V_{_{aff}}=_{aff}-a [/mm] $
Liebe Grüße,
;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 So 18.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich verstehe nicht woher rührt:
> > [mm]V_{_{aff}}=_{aff}-a[/mm]
Für jeden affinen Unterraum $A$ und jedes [mm] $a\in [/mm] A$ gilt [mm] $A=V_A+a$, [/mm] also [mm] $V_A=A-a$.
[/mm]
Wende letzteres auf [mm] $A:=\langle A_1\cup A_2\rangle_{\operatorname{aff}}$ [/mm] an (unter Beachtung von [mm] $a\in A_1\cap A_2\subseteq A_1\cup A_2\subseteq [/mm] A$).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 18.11.2012 | | Autor: | sissile |
Ah, ich verstehe.
Also ist noch zuzeigen: < [mm] A_1 \cup A_2 [/mm] >_{aff} = [mm] A_1 [/mm] + [mm] A_2
[/mm]
Das gilt ja für lineare Teilräume/Erzeugnisse und jede lineare teilraum ist ein affner teilraum.
Aber ich denke gezeigt ist es dann noch nicht..
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 So 18.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ah, ich verstehe.
> Also ist noch zuzeigen: < [mm]A_1 \cup A_2[/mm] >_{aff} = [mm]A_1[/mm] +
> [mm]A_2[/mm]
Nein. Zu zeigen ist < [mm]A_1 \cup A_2[/mm] >$_{aff}$ = [mm]A_1[/mm] + [mm]A_2[/mm] [mm] \blue{-a}, [/mm] wie ich hier (klick) überlegt habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 19.11.2012 | | Autor: | sissile |
Mein Versuch:
ZUZeigen: < $ [mm] A_1 \cup A_2 [/mm] $ >$ _{aff} $ = $ [mm] A_1 [/mm] $ + $ [mm] A_2 [/mm] $ $ [mm] \blue{-a}, [/mm] $
[mm] == [/mm] a +< [mm] V_{A_1}\cup V_{A_2} [/mm] > [mm] =a+V_{A_1}+V_{A_2}=a+(A_1 -a)+(A_2 -a)=A_1+A_2-a.
[/mm]
Und?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:34 Di 20.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> ZUZeigen: < [mm]A_1 \cup A_2[/mm] >[mm] _{aff}[/mm] = [mm]A_1[/mm] + [mm]A_2[/mm]
> [mm]\blue{-a},[/mm]
>
> [mm][/mm]
Lasse auf keinen Fall den Index [mm] $\operatorname{aff}$ [/mm] weg! Sonst ist der erzeugte affine Teilraum nicht vom erzeugten linearen Teilraum zu unterscheiden. Und im Allgemeinen stimmen beide nicht überein.
> [mm]==[/mm] a +< [mm]V_{A_1}\cup V_{A_2}>[/mm]
Begründung? Hier könntest du mit Beispiel 1.22 aus dem Skript arbeiten.
> [mm]=a+V_{A_1}+V_{A_2}=a+(A_1 -a)+(A_2 -a)=A_1+A_2-a.[/mm]
Die rechten Gleichheiten sind unproblematisch. Aber warum gilt [mm] $\langle V_{A_1}\cup V_{A_2}\rangle_{aff}=\underbrace{V_{A_1}+V_{A_2}}_{=\langle V_{A_1}\cup V_{A_2}\rangle}$?
[/mm]
Der einfachste Beweis, der mir dazu einfällt, wäre beide Teilmengenbeziehungen zu prüfen.
[mm] $\langle M\rangle_{\operatorname{aff}}\subseteq \langle M\rangle$ [/mm] gilt für jede Teilmenge M eines Vektorraumes (warum?). [mm] $\langle M\rangle_{\operatorname{aff}}\supseteq \langle M\rangle$ [/mm] dagegen i.A. nicht. Letzteres gilt aber, falls [mm] $0\in [/mm] M$ gilt. Dazu zeige, dass [mm] $A:=\langle M\rangle_\operatorname{aff}$ [/mm] wegen [mm] $0\in [/mm] A$ schon ein linearer Teilraum ist. (Oder wisst ihr schon, dass affine Teilräume, die den Nullvektor enthalten, schon lineare Teilräume sind?) Somit ist A ein linearer Teilraum, der M umfasst und somit [mm] $A\supseteq\langle M\rangle$.
[/mm]
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