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Forum "Zahlentheorie" - Diophantische Gleichung
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Diophantische Gleichung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 Mo 01.08.2011
Autor: Sebescen

Aufgabe
Berechnen sie alle Lösungen der Diophantischen Gleichungen:
a) 5x²+14xy+11y²=35
b) 5x²+14xy+11y²=46

Kann mir jemand den Ansatz sagen, wie ich alle Lösungen der Gleichungen bestimme?
Nach x oder y auflösen?


        
Bezug
Diophantische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 Mo 01.08.2011
Autor: felixf

Moin!

> Berechnen sie alle Lösungen der Diophantischen
> Gleichungen:
>  a) 5x²+14xy+11y²=35
>  b) 5x²+14xy+11y²=46
>  Kann mir jemand den Ansatz sagen, wie ich alle Lösungen
> der Gleichungen bestimme?
>  Nach x oder y auflösen?

Verrate uns doch mal, was du bereits ueber solche Gleichungen weisst. Sagt dir "binaerquadratische Form" und "Darstellung von Zahlen durch binaerquadratische Formen" etwas?

LG Felix


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Bezug
Diophantische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:40 Di 02.08.2011
Autor: Sebescen

Das sagt mir nicht wirklich was. Verstehe zwar, was Wikipedia dazu ausgibt, aber weiss nicht, wie ich das anwenden soll?

Bezug
        
Bezug
Diophantische Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:02 Di 02.08.2011
Autor: felixf

Moin!

> Berechnen sie alle Lösungen der Diophantischen
> Gleichungen:
>  a) 5x²+14xy+11y²=35
>  b) 5x²+14xy+11y²=46
>  Kann mir jemand den Ansatz sagen, wie ich alle Lösungen
> der Gleichungen bestimme?
>  Nach x oder y auflösen?

Wenn ihr keine "fortgeschrittenen" Tools hattet, wirst du wohl elementar vorgehen muessen. Loese die Gleichungen nach $x$ auf und untersuche, fuer welche Wahl von $y$ eine ganzzahlige Loesung  fuer $x$ herauskommt. Du hast dann unter der Wurzel einen Ausdruck der Art $b - a [mm] \cdot y^2$ [/mm] mit ganzen Zahlen $a, b > 0$, weswegen $|y| [mm] \le \sqrt{b/a}$ [/mm] gilt und du somit nur ein "paar" Werte fuer $y$ durchprobieren musst.

Es gibt uebrigens 8 Loesungen bei a) und keine bei b).

LG Felix


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Bezug
Diophantische Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Di 02.08.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Sebescen,

Felix ist mir gerade zuvorgekommen mit dem Tipp, es mit
den Mitteln zu versuchen, die dir ohnehin zur Verfügung
stehen: Lösungsformel, und dann schauen, welche ganz-
zahligen Werte von y überhaupt in Frage kommen und
auch noch zu ganzzahligen Werten von x führen.

Das ist dann zwar eventuell nicht der Weg, der in der
Zahlentheorie gewünscht ist ...

LG   Al-Chw.

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Bezug
Diophantische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 Di 02.08.2011
Autor: Sebescen

Danke für die schnelle Hilfe.
Wie sieht den der zahlentheoretische Weg aus? Vielleicht verstehe ich ihn anhand von dem Beispiel?

Bezug
                        
Bezug
Diophantische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:45 Di 02.08.2011
Autor: Al-Chwarizmi


>  Wie sieht denn der zahlentheoretische Weg aus? Vielleicht
>  verstehe ich ihn anhand von dem Beispiel?

Damit habe ich mich nie näher beschäftigt.
Lass dich doch mal überraschen, was deine
Uni dazu zu bieten hat ...

LG   Al-Chw.


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