Diophantische Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:08 Mo 28.11.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Zu einer großen Festveranstaltung werden 1150 Gäste erwartet. Sie sollen an kleinen Tischen (je drei Personen) und an großen Tischen (je acht Personen) Platz nehmen.
a) Wie viele Zusammenstellungen von Tischen beider Sorten sind möglich (so, dass jeder Gast einen Sitzplatz hat und kein Platz leer bleibt?
b) Lässt sich eine Zusammenstellung finden, in der von einer Tischsorte höchstens zwei Exemplare mehr vorkommen als von der anderen Tischsorte? |
Also ich habe erst eine Gleichung aufgestellt, mit dem Lösungsverfahren für diophantische Gleichungen aus der Vorlesung alle möglichen Lösungen bestimmt und dann wollte ich schauen, wie viele Lösungen es gibt, bei denen x und y größer als Null sind. Soweit mein Gedankengang, aber am Ende komme ich nicht weiter. Ich schreibe mal alles auf und hoffe jemand kann mir sagen wo mein Fehler liegt. Und bei der b weiß ich keinen Ansatz, würde mich über jede Hilfe freuen.
Lösungsversuch:
x=Tische mit 3 Personen y=Tische mit 8 Personen
3x + 8y = 1150
Lösung der Gleichung:
1. Berechne ggT(3,8) = 1
2. Überprüfe ggT(3,8)|1150. Das stimmt.
3.Teilen der Gleichung durch den ggT. (Gleichung bleibt unverändert)
4.Bestimme eine Lösung der Gleichung
Mit euklid. Alg. für 8 und 3:
8=2*3+2
3=2*1+1
Schreibe nun die 1 als Linearkombination von 8 und 3:
1=3*3+8
Multiplikation mit 1150:
1150=3450*3-1150*8
Lese eine Lösung der GL 1150 =3*x+8*y ab.
Es ist xs=3450 und ys=-1150
5)Löse die homogene Gleichung:
Das ist die Gleichung 3x+8y=0
xh(homogen) = 8m yh=-3m mit m [mm] \inZ
[/mm]
6) Alle Lösungen der Gleichung 3x+8y
Das sind die Lösungen:
x=xs+xh=3450+18m
y=ys+yh=-1150-3m
bzw. die Lösungsmenge {(3450+18m, [mm] -1150-3m)|m\inZ}
[/mm]
Dann wollte ich schauen wann x und y positiv sind (also beide Arten von Tischen benutzt werden):
y>0 -> -1150-3m>0 <-> [mm] m<-\bruch{1150}{3} \approx [/mm] -384
x>0 -> 3450+18m>0 <-> [mm] m>-\bruch{3450}{18} \approx [/mm] -191
Aber dann müsste m < -384 und m > -191, was ja nicht möglich ist. Wo liegt mein Fehler? Und wie gehe ich bei Aufgenteil b vor?
Vielen Dank schonmal.
Gruß
Andy
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Hallo Catman,
> Zu einer großen Festveranstaltung werden 1150 Gäste
> erwartet. Sie sollen an kleinen Tischen (je drei Personen)
> und an großen Tischen (je acht Personen) Platz nehmen.
>
> a) Wie viele Zusammenstellungen von Tischen beider Sorten
> sind möglich (so, dass jeder Gast einen Sitzplatz hat und
> kein Platz leer bleibt?
>
> b) Lässt sich eine Zusammenstellung finden, in der von
> einer Tischsorte höchstens zwei Exemplare mehr vorkommen
> als von der anderen Tischsorte?
> Also ich habe erst eine Gleichung aufgestellt, mit dem
> Lösungsverfahren für diophantische Gleichungen aus der
> Vorlesung alle möglichen Lösungen bestimmt und dann
> wollte ich schauen, wie viele Lösungen es gibt, bei denen
> x und y größer als Null sind. Soweit mein Gedankengang,
> aber am Ende komme ich nicht weiter. Ich schreibe mal alles
> auf und hoffe jemand kann mir sagen wo mein Fehler liegt.
> Und bei der b weiß ich keinen Ansatz, würde mich über
> jede Hilfe freuen.
>
> Lösungsversuch:
>
> x=Tische mit 3 Personen y=Tische mit 8 Personen
>
> 3x + 8y = 1150
>
> Lösung der Gleichung:
>
> 1. Berechne ggT(3,8) = 1
> 2. Überprüfe ggT(3,8)|1150. Das stimmt.
> 3.Teilen der Gleichung durch den ggT. (Gleichung bleibt
> unverändert)
> 4.Bestimme eine Lösung der Gleichung
>
> Mit euklid. Alg. für 8 und 3:
>
> 8=2*3+2
> 3=2*1+1
>
> Schreibe nun die 1 als Linearkombination von 8 und 3:
>
> 1=3*3+8
>
[mm]1=3*3\blue{-}1*8 [/mm]
> Multiplikation mit 1150:
>
> 1150=3450*3-1150*8
>
> Lese eine Lösung der GL 1150 =3*x+8*y ab.
>
> Es ist xs=3450 und ys=-1150
>
> 5)Löse die homogene Gleichung:
>
> Das ist die Gleichung 3x+8y=0
>
> xh(homogen) = 8m yh=-3m mit m [mm]\inZ[/mm]
>
> 6) Alle Lösungen der Gleichung 3x+8y
>
> Das sind die Lösungen:
>
> x=xs+xh=3450+18m
Hier muss es doch heissen:
[mm]x=xs+xh=3450+\red{8}m[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> y=ys+yh=-1150-3m
>
> bzw. die Lösungsmenge {(3450+18m, [mm]-1150-3m)|m\inZ}[/mm]
>
> Dann wollte ich schauen wann x und y positiv sind (also
> beide Arten von Tischen benutzt werden):
>
> y>0 -> -1150-3m>0 <-> [mm]m<-\bruch{1150}{3} \approx[/mm] -384
>
> x>0 -> 3450+18m>0 <-> [mm]m>-\bruch{3450}{18} \approx[/mm] -191
>
> Aber dann müsste m < -384 und m > -191, was ja nicht
> möglich ist. Wo liegt mein Fehler? Und wie gehe ich bei
> Aufgenteil b vor?
>
Die Frage ist doch, ob es möglich ist so eine Zusammenstellung zu finden,
daß [mm]y=x+2[/mm] oder [mm]x=y+2[/mm] gilt.
> Vielen Dank schonmal.
>
> Gruß
>
> Andy
>
Gruss
MathePower
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