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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:01 Fr 07.12.2012 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | Zeige durch Reduktion auf eine Kongruenz mit einem geeigneten Modul, dass die Diophantische Gleichung
[mm] x^2 [/mm] + x + [mm] 18y^n [/mm] = 8
für eine beliebige natürliche Zahl n unlösbar ist. |
Hallo zusammen,
ich benötige mal wieder Hilfe bei folgender Aufgabe. Ich soll hier eine Kongruenz mit einem geeigneten Modul aufbauen, um zu zeigen, dass die Gleichung UNlösbar ist...
Leider finde ich keinen Ansatz. Normalerweise würde ich bei einer solchen Gleichung ja den ggT bestimmen und dann versuchen eine Linearkombination herzustellen.
Wie jedoch komme ich auf eine geeignete Kongruenz?
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Hallo MattiJo,
man probiert erst einmal einen gemütlichen Weg. 
> Zeige durch Reduktion auf eine Kongruenz mit einem
> geeigneten Modul, dass die Diophantische Gleichung
>
> [mm]x^2[/mm] + x + [mm]18y^n[/mm] = 8
>
> für eine beliebige natürliche Zahl n unlösbar ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich benötige mal wieder Hilfe bei folgender Aufgabe. Ich
> soll hier eine Kongruenz mit einem geeigneten Modul
> aufbauen, um zu zeigen, dass die Gleichung UNlösbar
> ist...
> Leider finde ich keinen Ansatz. Normalerweise würde ich
> bei einer solchen Gleichung ja den ggT bestimmen und dann
> versuchen eine Linearkombination herzustellen.
> Wie jedoch komme ich auf eine geeignete Kongruenz?
Ungemütlich an dieser Gleichung ist das [mm] y^n. [/mm] Das kann ja, je nach Modul, ganz verschiedene Werte annehmen. Darum wird der erste Versuch sein, einen Modul zu wählen, der ein Teiler von 18 ist. Dann fällt das ganze Glied [mm] 18y^n [/mm] ja weg.
Dann hat man also nur noch die Frage, ob [mm] x^2+x\equiv 8\mod{m} [/mm] sein kann, oder etwas einfacher zu rechnen:
[mm] x(x+1)-8\equiv 0\mod{m} [/mm] mit [mm] m\in\{2,3,6,9,18\}
[/mm]
Wenn nun für einen der genannten Moduln die Äquivalenz nicht lösbar ist, ist es die diophantische Gleichung auch nicht.
Für 2 und 3 findet man sehr schnell Lösungen, so dass die 6 auch eher ein Wackelkandidat ist. Und da mit 9 einfacher zu rechnen ist als mit 18, wird man dann lieber erst einmal den Modul 9 versuchen.
Soviel zur Taktik der Vorgehensweise. Jetzt Du.
Grüße
reverend
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