Diophantische Gleichungen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Fr 13.03.2009 | | Autor: | DAB268 |
Hallo.
Diophantische Gleichungen der Form ax+by=c haben als allgemeine Lösung
[mm] x=x_0+\bruch{b}{ggT(a,b)}\cdot{t}
[/mm]
[mm] y=y_o-\bruch{a}{ggT(a,b)}\cdot{t}
[/mm]
[mm] x_0,y_0 [/mm] spezielle Lösung
[mm] t\in\IZ
[/mm]
Gilt dies auch für Gleichungen mit mehr als 2 Variablen [mm] (a_0x_0+a_1x_1+\cdots+a_nx_n=c) [/mm] bzw. gibt es eine Verallgemeinerung dieser Formeln?
MfG
DAB268
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Fr 13.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo.
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> Diophantische Gleichungen der Form ax+by=c haben als
> allgemeine Lösung
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> [mm]x=x_0+\bruch{b}{ggT(a,b)}\cdot{t}[/mm]
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> [mm]y=y_o-\bruch{a}{ggT(a,b)}\cdot{t}[/mm]
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> [mm]x_0,y_0[/mm] spezielle Lösung
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> [mm]t\in\IZ[/mm]
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> Gilt dies auch für Gleichungen mit mehr als 2 Variablen
> [mm](a_0x_0+a_1x_1+\cdots+a_nx_n=c)[/mm] bzw. gibt es eine
> Verallgemeinerung dieser Formeln?
>
Hallo,
interpretiere es doch mal geometrisch.
ax+by=c beschreibt eine Gerade, und alle ganzahligen Lösungen (x;y) sind Punkte dieser Geraden mit ganzzahligen Koordinaten (also Gitterpunkte des Koordinatensystems).
ax+by+cz=d beschreibt eine Ebene, und bei ganzzahligen Koeffizienten a, b, c und d wird es in der Regel (auch lineare diophantische Gleichungen mit 2 Variablen sind nicht immer lösbar) Gitterpunkte des Raumes geben, die dieser Ebene angehören...
Gruß Abakus
> MfG
> DAB268
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