Diphantische Gleichung Zeige < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Do 01.12.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | 1. Bestimme die Lösung der Gleichung 5x+7y=1
2. Zeigen Sie, dass die Gleichung 5x+7y=23 keine Lösung besitzt wenn x,y >=0 verlangt wird.
3. Zeigen Sie, dass 23 die größte ganze Zahl ist, die sich nicht in der Form 5x+7y mit ganzen Zahlen x,y >=0 schreiben lässt. |
Also die ersten beiden Aufgaben konnte ich soweit ohne Probleme Lösen. Bei der 3. komme ich nicht weiter.
Ich hab erstmal vor ablesen der Lösung der Linearkombination von Aufgabe 1. mit a (a>=24) multipliziert, damit ich dann zeigen kann, dass die Gleichung für alle a>=24 mit x,y >= 0 lösbar ist.
Dann hab ich alle Lösungen für x und y in Abhängigkeit von a bestimmt
x=3a+7m y=-2a-5m
Dann hab ich das nach m aufgelöst mit der >= 0 bedingung
Also:
3a+7m>=0 und -2a-5m>=0
m>= [mm] -\bruch{3}{7} [/mm] *a und m<= -0,4a
Jetzt weiß ich nicht weiter wie ich das allgemein zeigen soll, dass es für jedes a>= 24 gilt, dass in dem Zwischenraum ein m [mm] \in [/mm] Z liegt. Bei 23 ist das ja nicht der Fall und bei 24 schon.
Ich hatte die Idee, dass man das evt. mit Induktion zeigen könnte. Aber wenn das gehen sollte, dann weiß ich nicht wie.
Dann wäre ja die Vorraussetzung:
für ein bel. festes a gelte:
[mm] -\bruch{3}{7} [/mm] *a <= m <= -0,4 a ,a>=24 --> [mm] \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] Z
und die Behauptung:
[mm] -\bruch{3}{7} [/mm] *(a+1) <= m <= -0,4 (a+1) ,a>=24 --> [mm] \exists [/mm] m [mm] \in [/mm] Z
Wäre das ein Ansatz oder liege ich da total falsch?
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Man kann sich eine Lösung konstruieren:
Zu [mm] $a\ge [/mm] 24$ sei b die größte ganze Zahl, sodass [mm] $5b\le [/mm] a$ und $a-5b$ gerade ist.
Es folgt [mm] $b\ge [/mm] 4$ und [mm] $0\le a-5b\le [/mm] 8$. Mit [mm] $c=(a-5b)/2\ge [/mm] 0$ ist dann [mm] $c\le 4\le [/mm] b$ und
$a=5b+2c=5(b-c)+7c$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 01.12.2011 | | Autor: | Catman |
> Man kann sich eine Lösung konstruieren:
> Zu [mm]a\ge 24[/mm] sei b die größte ganze Zahl, sodass [mm]5b\le a[/mm]
> und [mm]a-5b[/mm] gerade ist.
> Es folgt [mm]b\ge 4[/mm] und [mm]0\le a-5b\le 8[/mm]. Mit [mm]c=(a-5b)/2\ge 0[/mm]
> ist dann [mm]c\le 4\le b[/mm] und
> [mm]a=5b+2c=5(b-c)+7c[/mm]
Vielen Dank für die Antwort.
Also ich verstehe ehrlich gesagt gar nicht wie du auf b und c kommst, und wieso das jetzt gezeigt sein soll. Könntest du das evt. erläutern?
Warum ist z.B. [mm]5b\le a[/mm] ? Also ich blicke da echt gar nicht durch.
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> > Man kann sich eine Lösung konstruieren:
> > Zu [mm]a\ge 24[/mm] sei b die größte ganze Zahl, sodass [mm]5b\le a[/mm]
> > und [mm]a-5b[/mm] gerade ist.
> > Es folgt [mm]b\ge 4[/mm] und [mm]0\le a-5b\le 8[/mm]. Mit [mm]c=(a-5b)/2\ge 0[/mm]
> > ist dann [mm]c\le 4\le b[/mm] und
> > [mm]a=5b+2c=5(b-c)+7c[/mm]
>
> Vielen Dank für die Antwort.
> Also ich verstehe ehrlich gesagt gar nicht wie du auf b und
> c kommst, und wieso das jetzt gezeigt sein soll. Könntest
> du das evt. erläutern?
Wenn a gerade ist, suchst du die größte durch 10 teilbare Zahl n mit [mm] n\ge [/mm] a.
Wenn a ungerade ist, wählst du n als größte Zahl [mm] n\le [/mm] a, die durch 5, aber nicht durch 10 teilbar ist.
In jedem Fall ist dann a-n gerade und [mm] 0\le [/mm] a-n<10.
Dann setzt du n=5b und a-n=2c und machst weiter, wie ich geschrieben habe.
> Warum ist z.B. [mm]5b\le a[/mm] ? Also ich blicke da echt gar nicht
> durch.
Dann überleg dir das erstmal an einem beispiel:
Für $a=24=2*10+2*2$ ist b=4 und c=2, also $24=4*5+2*2=2*(5+2)+2*5$
Für $a=25=5*5+0*2$ ist $b=5$ und $c=0$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:49 Do 01.12.2011 | | Autor: | Catman |
> > > Man kann sich eine Lösung konstruieren:
> > > Zu [mm]a\ge 24[/mm] sei b die größte ganze Zahl, sodass
> [mm]5b\le a[/mm]
> > > und [mm]a-5b[/mm] gerade ist.
> > > Es folgt [mm]b\ge 4[/mm] und [mm]0\le a-5b\le 8[/mm]. Mit
> [mm]c=(a-5b)/2\ge 0[/mm]
> > > ist dann [mm]c\le 4\le b[/mm] und
> > > [mm]a=5b+2c=5(b-c)+7c[/mm]
> >
> > Vielen Dank für die Antwort.
> > Also ich verstehe ehrlich gesagt gar nicht wie du auf b und
> > c kommst, und wieso das jetzt gezeigt sein soll. Könntest
> > du das evt. erläutern?
>
> Wenn a gerade ist, suchst du die größte durch 10 teilbare
> Zahl n mit [mm]n\ge[/mm] a.
> Wenn a ungerade ist, wählst du n als größte Zahl [mm]n\le[/mm]
> a, die durch 5, aber nicht durch 10 teilbar ist.
> In jedem Fall ist dann a-n gerade und [mm]0\le[/mm] a-n<10.
> Dann setzt du n=5b und a-n=2c und machst weiter, wie ich
> geschrieben habe.
>
> > Warum ist z.B. [mm]5b\le a[/mm] ? Also ich blicke da echt gar nicht
> > durch.
> Dann überleg dir das erstmal an einem beispiel:
> Für [mm]a=24=2*10+2*2[/mm] ist b=4 und c=2, also
> [mm]24=4*5+2*2=2*(5+2)+2*5[/mm]
> Für [mm]a=25=5*5+0*2[/mm] ist [mm]b=5[/mm] und [mm]c=0[/mm]
Sorry aber ich werd daraus einfach nicht schlau. Warum such ich die größte durch 10 Teilbare Zahl n mit [mm]n\ge[/mm] a ?
Also was ist die Grundidee hinter dieser Rechnung?
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Nochmal ein bisschen einfacher:
Du schreibt [mm] $a\ge [/mm] 24$ in der Form $a=5*b+2*c$ mit [mm] $b,c\ge [/mm] 0$, wobei $b$ so groß wie möglich gewählt wird.
Dann ist [mm] $c\le [/mm] 4$ und wegen [mm] $a\ge [/mm] 24$ muss [mm] $b\ge [/mm] 4$ sein [mm] $\Rightarrow b-c\ge [/mm] 0$ mit $a=5*(b-c)+(5+2)*c$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Do 01.12.2011 | | Autor: | Catman |
> Nochmal ein bisschen einfacher:
> Du schreibt [mm]a\ge 24[/mm] in der Form [mm]a=5*b+2*c[/mm] mit [mm]b,c\ge 0[/mm],
> wobei [mm]b[/mm] so groß wie möglich gewählt wird.
> Dann ist [mm]c\le 4[/mm] und wegen [mm]a\ge 24[/mm] muss [mm]b\ge 4[/mm] sein
> [mm]\Rightarrow b-c\ge 0[/mm] mit [mm]a=5*(b-c)+(5+2)*c[/mm].
Gut also das man das tun kann verstehe ich ja teilweise, bis auf: c ist dann [mm] \le [/mm] 4?
Aber warum tut man das und wie kommt man auf die Idee das zutun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Do 01.12.2011 | | Autor: | abakus |
> 1. Bestimme die Lösung der Gleichung 5x+7y=1
> 2. Zeigen Sie, dass die Gleichung 5x+7y=23 keine Lösung
> besitzt wenn x,y >=0 verlangt wird.
> 3. Zeigen Sie, dass 23 die größte ganze Zahl ist, die
> sich nicht in der Form 5x+7y mit ganzen Zahlen x,y >=0
> schreiben lässt.
> Also die ersten beiden Aufgaben konnte ich soweit ohne
> Probleme Lösen. Bei der 3. komme ich nicht weiter.
> Ich hab erstmal vor ablesen der Lösung der
> Linearkombination von Aufgabe 1. mit a (a>=24)
> multipliziert, damit ich dann zeigen kann, dass die
> Gleichung für alle a>=24 mit x,y >= 0 lösbar ist.
>
> Dann hab ich alle Lösungen für x und y in Abhängigkeit
> von a bestimmt
>
> x=3a+7m y=-2a-5m
>
> Dann hab ich das nach m aufgelöst mit der >= 0 bedingung
>
> Also:
>
> 3a+7m>=0 und -2a-5m>=0
>
> m>= [mm]-\bruch{3}{7}[/mm] *a und m<= -0,4a
Viiiiiel einfacher!
Zeige, dass 23 unmöglich ist (das hast du mit b) erledigt).
Zeige dann am konkreten Beispiel, dass 24, 25, 26, 27 und 28 darstellbar sind.
Durch Hinzunahme eines zusätzlichen Summanden "5" sind dann ebenso 29 bis 33 darstellbar...
Gruß Abakus
>
> Jetzt weiß ich nicht weiter wie ich das allgemein zeigen
> soll, dass es für jedes a>= 24 gilt, dass in dem
> Zwischenraum ein m [mm]\in[/mm] Z liegt. Bei 23 ist das ja nicht der
> Fall und bei 24 schon.
>
> Ich hatte die Idee, dass man das evt. mit Induktion zeigen
> könnte. Aber wenn das gehen sollte, dann weiß ich nicht
> wie.
>
> Dann wäre ja die Vorraussetzung:
> für ein bel. festes a gelte:
> [mm]-\bruch{3}{7}[/mm] *a <= m <= -0,4 a ,a>=24 --> [mm]\exists[/mm] m [mm]\in[/mm]
> Z
>
> und die Behauptung:
> [mm]-\bruch{3}{7}[/mm] *(a+1) <= m <= -0,4 (a+1) ,a>=24 --> [mm]\exists[/mm]
> m [mm]\in[/mm] Z
>
> Wäre das ein Ansatz oder liege ich da total falsch?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Fr 02.12.2011 | | Autor: | Catman |
> > 1. Bestimme die Lösung der Gleichung 5x+7y=1
> > 2. Zeigen Sie, dass die Gleichung 5x+7y=23 keine
> Lösung
> > besitzt wenn x,y >=0 verlangt wird.
> > 3. Zeigen Sie, dass 23 die größte ganze Zahl ist, die
> > sich nicht in der Form 5x+7y mit ganzen Zahlen x,y >=0
> > schreiben lässt.
> > Also die ersten beiden Aufgaben konnte ich soweit ohne
> > Probleme Lösen. Bei der 3. komme ich nicht weiter.
> > Ich hab erstmal vor ablesen der Lösung der
> > Linearkombination von Aufgabe 1. mit a (a>=24)
> > multipliziert, damit ich dann zeigen kann, dass die
> > Gleichung für alle a>=24 mit x,y >= 0 lösbar ist.
> >
> > Dann hab ich alle Lösungen für x und y in Abhängigkeit
> > von a bestimmt
> >
> > x=3a+7m y=-2a-5m
> >
> > Dann hab ich das nach m aufgelöst mit der >= 0 bedingung
> >
> > Also:
> >
> > 3a+7m>=0 und -2a-5m>=0
> >
> > m>= [mm]-\bruch{3}{7}[/mm] *a und m<= -0,4a
> Viiiiiel einfacher!
> Zeige, dass 23 unmöglich ist (das hast du mit b)
> erledigt).
> Zeige dann am konkreten Beispiel, dass 24, 25, 26, 27 und
> 28 darstellbar sind.
> Durch Hinzunahme eines zusätzlichen Summanden "5" sind
> dann ebenso 29 bis 33 darstellbar...
> Gruß Abakus
> >
Vielen Dank für die Antwort. Wie genau ist das mit dem zusätzlichen Summanden zu verstehen? Also wenn ich die Zahlen alle einzeln zeige, dann ist es doch noch nicht allgemein bewiesen?
> > Jetzt weiß ich nicht weiter wie ich das allgemein zeigen
> > soll, dass es für jedes a>= 24 gilt, dass in dem
> > Zwischenraum ein m [mm]\in[/mm] Z liegt. Bei 23 ist das ja nicht der
> > Fall und bei 24 schon.
> >
> > Ich hatte die Idee, dass man das evt. mit Induktion zeigen
> > könnte. Aber wenn das gehen sollte, dann weiß ich nicht
> > wie.
> >
> > Dann wäre ja die Vorraussetzung:
> > für ein bel. festes a gelte:
> > [mm]-\bruch{3}{7}[/mm] *a <= m <= -0,4 a ,a>=24 --> [mm]\exists[/mm] m
> [mm]\in[/mm]
> > Z
> >
> > und die Behauptung:
> > [mm]-\bruch{3}{7}[/mm] *(a+1) <= m <= -0,4 (a+1) ,a>=24 -->
> [mm]\exists[/mm]
> > m [mm]\in[/mm] Z
> >
> > Wäre das ein Ansatz oder liege ich da total falsch?
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Sa 03.12.2011 | | Autor: | abakus |
> > > 1. Bestimme die Lösung der Gleichung 5x+7y=1
> > > 2. Zeigen Sie, dass die Gleichung 5x+7y=23 keine
> > Lösung
> > > besitzt wenn x,y >=0 verlangt wird.
> > > 3. Zeigen Sie, dass 23 die größte ganze Zahl ist,
> die
> > > sich nicht in der Form 5x+7y mit ganzen Zahlen x,y >=0
> > > schreiben lässt.
> > > Also die ersten beiden Aufgaben konnte ich soweit
> ohne
> > > Probleme Lösen. Bei der 3. komme ich nicht weiter.
> > > Ich hab erstmal vor ablesen der Lösung der
> > > Linearkombination von Aufgabe 1. mit a (a>=24)
> > > multipliziert, damit ich dann zeigen kann, dass die
> > > Gleichung für alle a>=24 mit x,y >= 0 lösbar ist.
> > >
> > > Dann hab ich alle Lösungen für x und y in Abhängigkeit
> > > von a bestimmt
> > >
> > > x=3a+7m y=-2a-5m
> > >
> > > Dann hab ich das nach m aufgelöst mit der >= 0 bedingung
> > >
> > > Also:
> > >
> > > 3a+7m>=0 und -2a-5m>=0
> > >
> > > m>= [mm]-\bruch{3}{7}[/mm] *a und m<= -0,4a
> > Viiiiiel einfacher!
> > Zeige, dass 23 unmöglich ist (das hast du mit b)
> > erledigt).
> > Zeige dann am konkreten Beispiel, dass 24, 25, 26, 27
> und
> > 28 darstellbar sind.
> > Durch Hinzunahme eines zusätzlichen Summanden "5" sind
> > dann ebenso 29 bis 33 darstellbar...
> > Gruß Abakus
> > >
>
>
> Vielen Dank für die Antwort. Wie genau ist das mit dem
> zusätzlichen Summanden zu verstehen? Also wenn ich die
> Zahlen alle einzeln zeige, dann ist es doch noch nicht
> allgemein bewiesen?
Hallo?!
Wenn 24=2*5+2*7 darstellbar ist, dann ist auch 29=24+5=3*5+2*7 (eben mit einer 5 mehr als bei 24) darstellbar. Ebenso bekommt man aus 25 bis 28 die Darstellungen für 30 bis 33.
Wenn man zu den Zahlen 24 bis 28 nicht nur eine 5, sondern 2 Fünfen dazu gibt, erhält man auch 34 bis 38. Wenn man sogar 3 Fünfen dazu gibt, sind es 39 bis 43 usw.
Also: Wenn du die Darstellung von 5 aufeinander folgenden Zahlen hast, hast du auch eine Darstellung für alle Zahlen danach.
Gruß Abakus
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> > > Jetzt weiß ich nicht weiter wie ich das allgemein zeigen
> > > soll, dass es für jedes a>= 24 gilt, dass in dem
> > > Zwischenraum ein m [mm]\in[/mm] Z liegt. Bei 23 ist das ja nicht der
> > > Fall und bei 24 schon.
> > >
> > > Ich hatte die Idee, dass man das evt. mit Induktion zeigen
> > > könnte. Aber wenn das gehen sollte, dann weiß ich nicht
> > > wie.
> > >
> > > Dann wäre ja die Vorraussetzung:
> > > für ein bel. festes a gelte:
> > > [mm]-\bruch{3}{7}[/mm] *a <= m <= -0,4 a ,a>=24 --> [mm]\exists[/mm] m
> > [mm]\in[/mm]
> > > Z
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> > > und die Behauptung:
> > > [mm]-\bruch{3}{7}[/mm] *(a+1) <= m <= -0,4 (a+1) ,a>=24 -->
> > [mm]\exists[/mm]
> > > m [mm]\in[/mm] Z
> > >
> > > Wäre das ein Ansatz oder liege ich da total falsch?
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Catman |
Vielen Dank, jetzt hab ich es kapiert.
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