Diracsche Deltafunktion < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1) Zeigen Sie, dass folgende Funktionen als Darstellung der [mm] Dirac-\delta [/mm] gewählt werden können.
a) [mm] \delta_{\varepsilon}(x):=\bruch{1}{2*\varepsilon}*exp(-\bruch{|x|}{\varepsilon})
[/mm]
b) [mm] \delta_{\varepsilon}(x):=\bruch{\varepsilon}{\pi*(x^{2}+\varepsilon^{2})}
[/mm]
c) [mm] \delta_{\varepsilon}(x):=\bruch{1}{\wurzel{4*D*\pi}}*exp(-\bruch{x^{2}}{4*D*\varepsilon})
[/mm]
2) Verifizieren Sie folgendes:
a) [mm] \delta(x^{2}-a^{2})=\bruch{1}{2*|a|}*[\delta(x-a)+\delta(x+a)]
[/mm]
b) [mm] \delta(g(x))=\summe_{x_{i} mit g(x_{i})=0}\bruch{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}
[/mm]
3) Es sei S eine geschlossene Fläche im [mm] \IR^{3}. [/mm] Und sei [mm] I:=\integral_{S}{\bruch{\vec{r}}{r^{3}}*\vec{dA}}
[/mm]
Verwenden Sie die dreidimensionale Deltafunktion und den Gaußschen Satz um zu zeigen, dass
a) [mm] \vec{0}\in S\Rightarrow I=4*\pi
[/mm]
b) [mm] \vec{0}\not\in S\Rightarrow [/mm] I=0 |
Hallo!
Vorab: Ich habe überhaupt nicht verstanden, was diese komische "Distribution", die Diracsche Deltafunktion ist. So wirklich genau haben wir das in der Vorlesung auch nicht einmal definiert. Deshalb weiß ich auch nicht wirklich, was da genau zu zeigen ist, damit das Darstellungen des [mm] Dirac-\delta [/mm] sind.
Wir haben nur einige Eigenschaften kennengelernt, ich weiß aber nicht, ob das die definierenden sind...
Es soll sein [mm] \integral_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta_{\varepsilon} [/mm] im Limes [mm] \varepsilon\to [/mm] 0 gleich 0.
Auf sowas komm ich schon mal nicht... bei 1 a), da komm ich nämlich auf 1-1/e...
Als andere Eigenschaft hatten wir, dass für eine "Testfunktion" g gilt:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{g(x)*\delta(x-y)}=g(y)
[/mm]
Aber irgendwie hilft mir das auch nicht...
Was zur Hölle muss ich bei Aufgabe 1 denn nun genau zeigen?
Zu 2):
a) folgt ja als Spezialfall aus b), die Frage is bloß, warum gilt b)???
In der VL hatten wir nur [mm] \delta(a*x)=\bruch{1}{|a|}*\delta(x)
[/mm]
Nen bisschen geht das in die Richtung... aber sonst???
Zu 3):
Wenn 0 nicht drin ist, kann man ja ganz normal ableiten und da kommt dann 0 raus, also auch das ganze Integral...
Aber was ist, wenn die 0 drin ist? Was hat das denn dann mit der Deltafunktion zu tun?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:43 Do 15.07.2010 | | Autor: | gfm |
> 1) Zeigen Sie, dass folgende Funktionen als Darstellung der
> [mm]Dirac-\delta[/mm] gewählt werden können.
>
> a)
> [mm]\delta_{\varepsilon}(x):=\bruch{1}{2*\varepsilon}*exp(-\bruch{|x|}{\varepsilon})[/mm]
>
> b)
> [mm]\delta_{\varepsilon}(x):=\bruch{\varepsilon}{\pi*(x^{2}+\varepsilon^{2})}[/mm]
>
> c)
> [mm]\delta_{\varepsilon}(x):=\bruch{1}{\wurzel{4*D*\pi}}*exp(-\bruch{x^{2}}{4*D*\varepsilon})[/mm]
>
> Vorab: Ich habe überhaupt nicht verstanden, was diese
> komische "Distribution", die Diracsche Deltafunktion ist.
> So wirklich genau haben wir das in der Vorlesung auch nicht
> einmal definiert. Deshalb weiß ich auch nicht wirklich,
> was da genau zu zeigen ist, damit das Darstellungen des
> [mm]Dirac-\delta[/mm] sind.
> Wir haben nur einige Eigenschaften kennengelernt, ich weiß
> aber nicht, ob das die definierenden sind...
>
> Es soll sein
> [mm]\integral_{-\varepsilon}^{\varepsilon}\delta_{\varepsilon}[/mm]
> im Limes [mm]\varepsilon\to[/mm] 0 gleich 0.
>
> Auf sowas komm ich schon mal nicht... bei 1 a), da komm ich
> nämlich auf 1-1/e...
>
> Als andere Eigenschaft hatten wir, dass für eine
> "Testfunktion" g gilt:
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{g(x)*\delta(x-y)}=g(y)[/mm]
>
> Aber irgendwie hilft mir das auch nicht...
>
> Was zur Hölle muss ich bei Aufgabe 1 denn nun genau
> zeigen?
Das Dirac-Delta [mm] \delta [/mm] ist eine lineare Abbildung auf einem Funktionsraum in den dazugehörigen Körper per [mm]\delta f:=f(0)[/mm].
Obwohl die Schreibweise [mm]\integral\delta(x)f(x)dx=f(0)[/mm] gebräuchlich ist und suggeriert, dass es eine Funktion [mm]\delta[/mm] aus demselben Raum wie [mm]f[/mm] gäbe, ist das nicht der Fall.
Aber es gibt sogenannte Dirac-Folgen, z.B. [mm]\delta_{\epsilon}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\varepsilon}}\,\exp\left(-\frac{x^{2}}{2\varepsilon}\right)[/mm]
mit denen dann [mm]\int_{-\infty}^{\infty}\delta_{\epsilon}(x)\, f(x)\,\mathrm{d}x\to f(0)[/mm] gilt, wenn man vor dem Integral (also nicht unter dem Integral) [mm]\epsilon\to0[/mm] laufen läßt.
Gib mal http://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution ein...
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Mi 21.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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