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| Aufgabe | Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und seien W1 , W2 Untervektorräume von V. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
1) V = W1 [mm] \oplus [/mm] W2
2) dim V = dim W1 + Dim W2 und W1 [mm] \cap [/mm] W2 = {0} |
Ich kenne die Definition der direkten Summe.
Also V = W1 [mm] \oplus [/mm] W2 heißt gerade das der Schnitt nur die Null als Element hat. Aber genau das ist ja zu zeigen und ich weiss nicht wie ich dann beginnen soll.
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> Sei V ein endlich erzeugter Vektorraum und seien W1 , W2
> Untervektorräume von V. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen
> äquivalent sind.
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> 1) V = W1 [mm]\oplus[/mm] W2
> 2) W1 [mm]\cap[/mm] W2 = {0}
> Ich kenne die Definition der direkten Summe.
> Also V = W1 [mm]\oplus[/mm] W2 heißt gerade das der Schnitt nur die
> Null als Element hat. Aber genau das ist ja zu zeigen und
> ich weiss nicht wie ich dann beginnen soll.
Hallo,
das ist wirklich die Originalaufgabe? Nix weggelassen?
(Wie habt Ihr eigentlich die direkte Summe zweier UVRe definiert?)
Es sind 1) und 2) nicht äquivalent:
Sein [mm] W_1:=<\vektor{1\\0\\0}>, W_2:=W_1:=<\vektor{0\\1\\0}>, [/mm] also beides UVRe des [mm] \IR^3.
[/mm]
Der Schnitt enthält nur die Null, die Summe ist auch direkt, aber das Ergebnis der Summation ist keinesfalls [mm] =\IR^3.
[/mm]
Also folgt 1) nicht aus 2)
Gruß v. Angela
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ach shit ich hab doch was vergessen sry ^^
W1 [mm] \cap [/mm] W2 = {0} und dim V = dim W1 + Dim W2
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> ach shit ich hab doch was vergessen sry ^^
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> W1 [mm]\cap[/mm] W2 = {0} und dim V = dim W1 + Dim W2
Hat sich damit Deine Frage geklärt?
Gruß v. Angela
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hmmm naja es geht so,immernoch nicht so ganz. Also kann mir einfach beliebig 2 Vektoren wählen? und wie mach ich dann weiter? Zeigen das der Schnitt 0 ist? muss doch 2 Richtungen zeigen. Hmpf...
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> hmmm naja es geht so,immernoch nicht so ganz. Also kann mir
> einfach beliebig 2 Vektoren wählen?
Hallo,
von "2 Vektoren wählen" kann überhaupt nicht die Rede sein hier ...
Worum geht es? Du hast einen endlichdimensionalen Vektorraum und zwei seiner Unterräume [mm] W_1, W_2.
[/mm]
Zu zeigen ist nun in der Tat zweierlei:
A: Wenn V die direkte Summe der beiden Unterräume ist, also [mm] V=W_1\oplus W_2, [/mm] dann ergibt sich daraus, daß die Summe der Dimensionen von [mm] W_1 [/mm] und [mm] W_2 [/mm] gerade die Dimension von V ist, sowie daß der Schnitt leer ist. (Letzteres ist nicht sehr aufregend)
B: Wenn man zwei Unterräume [mm] W_1 [/mm] und [mm] W_2 [/mm] mit leerem Schnitt, deren Summe der Dimensionen gerade die Dimension von V ist, dann ist V die direkte Summe von [mm] W_1 [/mm] und [mm] W_2.
[/mm]
Zu A:: Setze hier also die Direktheit der Summe voraus. Der Schnitt ergibt sich sofort aus der Definition, zeigen mußt Du die Sache mit den Dimensionen.
Zu B:: Setze hier wie angegeben die Dimensionen voraus und daß der Schnitt nur die Null enthält. Zeigen mußt Du die Direktheit der Summe, also daß V die Summe aus [mm] W_1 [/mm] und [mm] W_2 [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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Hmm hab jetzt mal was zusammengeschrieben.
Ist aber vermutlich quatsch,wie so oft =|
A: Vorraussetzung : V = W1 [mm] \oplus [/mm] W2
[mm] \gdw [/mm] V = W1 + W2 mit W1 [mm] \cap [/mm] W2 = {0}
[mm] \gdw W1\0 \not\in W2\0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] W1 not= W2, da W1,W2 [mm] \in [/mm] V
ist dimV = dimW1 + dimW2
B: Vorraussetzung : dimV = dimW1 + dimW2
dann auch V = W1 + W2 , wenn W1 [mm] \cap [/mm] W2 = {0}
dann V = W1 [mm] \oplus [/mm] W2
Was hälst du davon?
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> Was hälst du davon?
Hallo,
das Unterdrücken der Entzückensschreie macht mir wenig Mühe...
Leuchtet Dir Dein eigenes Tun richtig ein?
Irgendwelche Folgerungen darfst Du nicht einfach hinschreiben, Du mußt sie begründen.
Da es hier um Dimensionen geht, ist es vermutlich kein Fehler, die Basen der betrachteten Räume irgendwie ins Spiel zu bringen.
> A: Vorraussetzung : V = W1 [mm]\oplus[/mm] W2
Sei Dim V=n, dim [mm] W_1=m_1, [/mm] dim [mm] W_2=m_2.
[/mm]
[mm] W_1, W_2 [/mm] haben beide eine Basis [mm] B_1=(...), B_2=(...).
[/mm]
Da [mm] V=W_1+W_2, [/mm] kannst Du jetzt ein Erzeugendensystem E von V angeben: E=...
Nimm an, das wäre keine Basis von V. Dann ist in E ein Vektor, dem man als Linearkombination der anderen schreiben kann.
Dies kannst Du zum Widerspruch führen, womit Du dann weißt, daß E eine Basis ist, womit Du die Behauptung dann hast.
> B: Vorraussetzung : dimV = dimW1 + dimW2
> dann auch V = W1 + W2 ,
Nein, das stimmt nicht. Gegenbeispiel:
Sei [mm] W_1= <\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}>, W_2=<\vektor{1\\0\\0}>.
[/mm]
Auch hier: die [mm] W_i [/mm] haben die Dimension [mm] m_i [/mm] und eine Basis [mm] B_i, [/mm] nach Voraussetzung ist [mm] m_1+m_2=dimV=n
[/mm]
Zeige jetzt, daß [mm] B_1\cup B_2 [/mm] linear unabhängig ist. Dazu benötigst Du die Voraussetzung, daß der Schnitt der UVRe nur die Null enthält.
Ist Dir das gelungen, so hast Du eine linear unabhängige Menge von n Vektoren des V, also eine Basis des V, woraus Du schnell [mm] V=W_1+W_2 [/mm] bekommst.
Gruß v. Angela
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