Direkte Summe Kern, Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 So 03.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Es sei V ein K-Vektorraum und f: V -> V eine K-lineare Abbildung mit [mm] f^{2} [/mm] = -f. Zeige, V = Kern(f) [mm] \oplus [/mm] Im(f). |
Guten Abend,
habe mit der obigen Aufgabe meine Probleme und würde mich freuen, wenn jemand mir helfen könnte. Habe bis jetzt folgendes: Sei [mm] x\in [/mm] V. Es gilt:
f(f(x)) = -f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f(f(x)+x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] (f(x)+x) [mm] \in [/mm] Kern(f) [mm] \Rightarrow \forall x_{0} \in [/mm] Kern(f): [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] V: f(x) +x = [mm] x_{0}. [/mm] Hm und hab hier wirds leider schon happig. Ich muss ja zeigen, dass 1. Kern(f) + Im(f) = V 2. Kern(f) [mm] \cap [/mm] Im(f) = {0}. Wollte zunächst 2. zeigen. Komme aber nicht weiter... Hat jemand einen Tipp für mich?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 So 03.04.2011 | | Autor: | pelzig |
Aus [mm]f^2=-f[/mm] folgt [mm]f(f+1)=0[/mm], also [mm]V=\ker f\oplus \ker(f+1)[/mm]. Jetzt zeige, dass [mm]\ker(f+1)=\operatorname{im} f[/mm] ist.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 So 03.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Aus [mm]f^2=-f[/mm] folgt [mm]f(f+1)=0[/mm], also [mm]V=\ker f\oplus \ker(f+1)[/mm].
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> Gruß, Robert
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Die letzte Implikation verstehe ich nicht. Wieso ist dann direkt V = Kern(f) [mm] \oplus [/mm] Kern(f+1) ?
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Hallo Loriot95!
> > Aus [mm]f^2=-f[/mm] folgt [mm]f(f+1)=0[/mm], also [mm]V=\ker f\oplus \ker(f+1)[/mm].
>
> >
> > Gruß, Robert
> >
> Die letzte Implikation verstehe ich nicht. Wieso ist dann
> direkt V = Kern(f) [mm]\oplus[/mm] Kern(f+1) ?
$P := -f$ und $1-P = 1+f$ sind Projektionen.
Es gibt einen Satz, der sicherstellt, dass $V= [mm] \text{Im}(P) \oplus \text{Kern}(P)$ [/mm] gilt.
Wenn man diesen Satz benutzt, ist man natürlich schnell am Ziel.
Man sieht die Aussage aber auch leicht direkt ein:
Sei $x [mm] \in [/mm] V$, dann gilt:
$f(x) + x [mm] \in \text{Kern}(f) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] f(-x) + [mm] \text{Kern}(f) \subseteq \text{Im}(f) [/mm] + [mm] \text{Kern}(f)$. [/mm]
Also gilt $V = [mm] \text{Kern}(f) [/mm] + [mm] \text{Im}(f)$. [/mm] Ein Element [mm] $y\in \text{Kern}(f) \cap \text{Im}(f)$ [/mm] sieht so aus:
$y = f(z)$ mit [mm] $z\in [/mm] V$ und hat die Eigenschaft $f(y) = 0$.
Warum gilt jetzt $y = 0$?
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:00 So 03.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
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> Sei [mm]x \in V[/mm], dann gilt:
>
> [mm]f(x) + x [mm] \in \text{Kern}(f) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] f(-x) + [mm] \text{Kern}(f) [/mm]
>
> LG mathfunnel
>
Weshalb das gilt verstehe ich auch nicht? Wieso ist dann x [mm] \in \text{Kern}(f) \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] f(-x) + [mm] \text{Kern}(f) [/mm] ?
LG Loriot95
Es gilt f(y) = f(f(z)) = -f(z) = f(z) = y = 0.
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Hallo Loriot95!
> Weshalb das gilt verstehe ich auch nicht? Wieso ist dann > x $ [mm] \in \text{Kern}(f) \Rightarrow [/mm] $ x $ [mm] \in [/mm] $ f(-x) + $ > [mm] \text{Kern}(f) [/mm] $ ?
$f(x) + x [mm] \in \text{Kern}(f) \Rightarrow [/mm] f(x) + x = k$ mit $k [mm] \in \text{Kern}(f)$. [/mm] Also
$x = k-f(x) = -f(x)+k= f(-x) + k [mm] \in f(-x)+\text{Kern}(f)$.
[/mm]
> Es gilt f(y) = f(f(z)) = -f(z) = f(z) = y = 0.
Stimmt!
LG mathfunnel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 So 03.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Ah verstehe. Danke dir :)
LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:11 Mo 04.04.2011 | | Autor: | pelzig |
> [mm]P := -f[/mm] und [mm]1-P = 1+f[/mm] sind Projektionen.
>
> Es gibt einen Satz, der sicherstellt, dass [mm]V= \text{Im}(P) \oplus \text{Kern}(P)[/mm] gilt.
> Wenn man diesen Satz benutzt, ist man natürlich schnell am Ziel.
Ich dachte da eigentlich an das "fundamentale Zerlegungslemma" der linearen Algebra, was noch viel allgemeiner ist: Wenn [mm]P,Q[/mm] teilerfremde Polynome mit Koeffizienten in [mm]\IK[/mm] sind und [mm]f:V\to V[/mm] ein Endomorphismus eines [mm]\IK[/mm]-Vektorraumes [mm]V[/mm] ist, dann gilt [mm]\ker (P\cdot Q)(f)=\ker P(f)\oplus\ker Q(f)[/mm]. Das folgt eigentlich ziemlich schnell aus dem Lemma von Bezout, das besagt, dass es (wegen der Teilerfremdheit) Polynomge [mm]R,S\in\IK[X][/mm] gibt mit [mm]RP+SQ=1[/mm]. Dann zeigt man lediglich, dass [mm]v=RP(f)(v)+SQ(f)(v)[/mm] die gesuchte Zerlegung von [mm] $v\in [/mm] V$ ist. Die Aussage über Projektoren folgt dann als Spezialfall.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:22 Mo 04.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Das klingt alles schön und gut. Nur das hatten wir alles noch nicht. Dennoch bedanke ich mich für deine Hilfe :)
LG Loriot95
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