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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Direkte Summe der Unterräume
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Direkte Summe der Unterräume: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:21 Mo 28.04.2008
Autor: ToniKa

Aufgabe
Sei der Vektorraum V die direkte Summe der Unterräumen U und W. D.h V=U[mm]\oplus[/mm] W.
Angenommen, [mm] \{u_1,..,u_n\} [/mm] sei eine Basis für U und [mm] \{w_1,..,w_m\} [/mm] sei eine Basis für W. Zeigen Sie, dass [mm] \{u_1,..,u_n,w_1,..,w_m\} [/mm] eine Basis für V ist.  

Hallo zusammen!
Ich habe ein folgendes Problem. Ich weiss nicht, ob ich den [mm] Dimension-satz(dimU\oplus [/mm] W=dimU+dimW) für die Lösung meiner Aufgabe brauche. Oder reicht  der folgende Satz für den Beweis aus: Sei V direkte Summe von U und W, also [mm] V=U\oplus [/mm] W,dann sei V=U+W und die Basis [mm] \{u_1,..,u_n,w_1,..,w_m\} [/mm] erzeugt diesen Vektorraum. D.h. sie ist linear unabhängig: [mm] a_1u_1+...+a_nu_n+b_1w_1+...+b_mw_m=0. [/mm] Ich weiss nicht, ob die lineare Unabhängigkeit überhaupt etwas mit dem Beweis zu tun hat?

Ich wäre dankbar für jede Korrektur und Hilfe
Viele Grüsse
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt


        
Bezug
Direkte Summe der Unterräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:08 Mo 28.04.2008
Autor: Zneques

Hallo,
[willkommenmr]

Dein zweiter Satz ist genau das, was du zu beweisen hast. Es ist also recht unwahrscheinlich, dass du ihn benutzen sollst.
Der Dimensionssatz bringt dich nicht wirklich weiter.

V=U [mm] \oplus [/mm] W [mm] =\{(u,w)| u \in U, w \in W\} [/mm] = U [mm] \times [/mm] W
Das ist die Definition, die auch völlig zum Beweis ausreicht.

Benutze bitte die Vorschau-Funktion unter dem Textfeld, um fehlerhafte Eingaben zu erkennen. Die Klammern [mm] \{ \} [/mm] haben spezielle Funktionen. Wenn du sie einfach nur schreiben möchtest, dann muss ein Backslash [mm] \backslash [/mm] direkt davor.

Ciao.

Bezug
                
Bezug
Direkte Summe der Unterräume: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:10 Mo 28.04.2008
Autor: ToniKa

danke für die ausführliche korrektur:-))

ich habe jetzt den dimensionssatz rausgeholt und stattdessen, den beweis, den du gesagt hast zugefügt und den rest nochmal korrigiert.

lieben gruß
danke nochmal

Bezug
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