Direktes Produkt zykl. Gruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien G und H zyklische Gruppen, deren Ordnungen |G| und |H| zueinander teilerfremd sind. Zeige: Das direkte Produkt G X H ist eine zyklische Gruppe. |
Hallo!
Also, dass das direkte Produkt wieder eine zyklische Gruppe ist, ist irgendwie klar. Da |G| und |H| teilerfremd, wähle ich einfach (g,h) als Erzeuger von G X H, wobei g bzw. h die zyklischen Erzeuger von G bzw. H sind.
Denn die Kardinalität von G X H ist klarerweise |G|*|H|, und wegen der Teilerfremdheit entspricht dies der Ordnung von (g,h)
Zusätzlich hatte ich auch versucht mir zu überlegen, wie ich denn für ein allgemens Element [mm] (g^{i}, h^{j}) \in [/mm] G X H, mit 0 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] |G|, 0 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] |H|, die Potenz x wählen muss, sodass [mm] (g,h)^{x} [/mm] = [mm] (g^{i}, h^{j})
[/mm]
Der einzige Ansatz der mir hierzu einfiel, war dass eben
x mod |G| = i und x mod |H| = j gelten muss, aber weiter bin ich nicht gekommen.
Danke für alle Lösungen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Sa 19.01.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Seien G und H zyklische Gruppen, deren Ordnungen |G| und
> |H| zueinander teilerfremd sind. Zeige: Das direkte Produkt
> G X H ist eine zyklische Gruppe.
>
> Also, dass das direkte Produkt wieder eine zyklische Gruppe
> ist, ist irgendwie klar. Da |G| und |H| teilerfremd, wähle
> ich einfach (g,h) als Erzeuger von G X H, wobei g bzw. h
> die zyklischen Erzeuger von G bzw. H sind.
> Denn die Kardinalität von G X H ist klarerweise |G|*|H|,
> und wegen der Teilerfremdheit entspricht dies der Ordnung
> von (g,h)
Schoen, dass dir das alles klar ist :)
> Zusätzlich hatte ich auch versucht mir zu überlegen, wie
> ich denn für ein allgemens Element [mm](g^{i}, h^{j}) \in[/mm] G X
> H, mit 0 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] |G|, 0 [mm]\le[/mm] j [mm]\le[/mm] |H|, die Potenz x
> wählen muss, sodass [mm](g,h)^{x}[/mm] = [mm](g^{i}, h^{j})[/mm]
>
> Der einzige Ansatz der mir hierzu einfiel, war dass eben
> x mod |G| = i und x mod |H| = j gelten muss, aber weiter
> bin ich nicht gekommen.
Da $|G|$ und $|G|$ teilerfremd sind, gibt es eine Bezout-Gleichung $1 = |G| [mm] \cdot [/mm] a + |H| [mm] \cdot [/mm] b$ mit $a, b [mm] \in \IZ$. [/mm] Jetzt beachte, dass $1 [mm] \equiv [/mm] |G| [mm] \cdot [/mm] a [mm] \pmod{|H|}$, [/mm] $0 [mm] \equiv [/mm] |G| [mm] \cdot [/mm] a [mm] \pmod{|G|}$ [/mm] und $0 [mm] \equiv [/mm] |H| [mm] \cdot [/mm] b [mm] \pmod{|G|}$, [/mm] $1 [mm] \equiv [/mm] |H| [mm] \cdot [/mm] b [mm] \pmod{|G|}$ [/mm] ist.
LG Felix
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hi,
habe hier die gleiche Aufgabe mit dem Zusatz, dass die G x H zyklische Gruppe der Ordnung lGl*lHl ist.
> Denn die Kardinalität von G X H ist klarerweise |G|*|H|,
> und wegen der Teilerfremdheit entspricht dies der Ordnung
> von (g,h)
leider ist mir das alles nicht so "klar".
Kann mir einer Zwischenschritte bzw. -begründungen liefern?
Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 20.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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