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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich habe diese Frage /Aufgabe in keinem anderem Forum gestellt.
Hallöchen! Ich hab heut ne Aufgabe bekommen, bei der ich nicht weiß, was hinten und was vorn ist. Wäre echt lieb und nett von euch, wenn mir einer helfen könnte! Brauch noch ein paar Punkte um zur Klausur zugelassen zu werden!
Die Aufgabe lautet wie folgt:
Es bezeichne im folgenden x= p/q eine rational Zahl mit teilerfremden p, q Element N0 (Natürliche Zahlen eingeschlossen der Null).
Zeigen Sie, dass die Dirichlet-Funktion
1 für x= p/q Element [0,1] ∩ Q (rationale Zahlen)
f: x {
0 für x Element [0,1] \ Q (rationale Zahlen)
keine Regelfunktion ist.
Geben sie jedoch eine gleichmäßig beschränkte Folge(fn) von Treppenfunktionen auf [0,1] an (d.h. die Folge ||fn||oo soll beschränkt sein), die punktweise gegen f konvergiert, und berechnen Sie die Integrale ∫ (oben: 1 unten 0) fn(x) dx und deren Grenzwert.
Wo ist f stetig?
Zeigen Sie weiter, dass die Funktion
1/q für x= p/q Element [0,1] ∩ Q (rationale Zahlen)
g: x {
0 für x Element [0,1] \ Q (rationale Zahlen)
eine Regelfunktion ist. Für welche x Element [0,1] ist g stetig? Geben Sie eine Folge (gn) von Treppenfunktionen auf [0,1] an, die gleichmäßig gegen g konvergiert, und berechnen sie die Integrale ∫ (oben: 1 unten 0) gn(x) dx, deren Limes und ∫ (oben: 1 unten 0) fn(x) dx oo gilt.
So, ich hoffe ihr habt den Überblick behalten, mir ist er auf der Strecke verloren gegangen. Wär echt toll, wenn sich jemand finden könnte der sich mit dieser Aufgabe beschäftigen könnte.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Mo 07.02.2005 | | Autor: | Max |
Also, die Funktion $f$ ist keine Regelfunktion, weil es sich nicht um eine stetige Funktion handelt.
Wenn ihr die Stetigkeit mit Epislontik eingeführt habt reicht es zu begründen, dass in jeder Umgebung un eine irrationale Zahl eine rationale Zahl liegt und dass in jeder Umgebung um eine rationale Zahl auch eine irrationale Zahl liegt, d.h. für [mm] $\delta=\frac{1}{2}$ [/mm] kann man kein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] wählen.
Im Gegensatz dazu ist $g$ auf [mm] $(0;1)\setminus \mathbb{Q}$ [/mm] stetig. $g$ ist in jeder irrationalen Zahl stetig, da wenn man [mm] ein$\delta>0$ [/mm] vorgibt, kann man immer ein [mm] $\epsilon>0$ [/mm] wählen, dass die rationalen Zahlen in der Umgebung der irrationalen Zahl einen so großen Nenner haben, dass [mm] $\left|\frac{1}{q}-0\right|<\delta$.
[/mm]
Bleibt zu zeigen, dass $g$ auch für jede rationale Zahl stetig ist, dann folgt daraus unmittlerbar, dass $g$ Regelfunktion ist. Irgendwie fehlt mir da ne Idee und zur Zeit finde ich, dass [mm] $\frac{1}{3}$ [/mm] evtl. ein Gegenbeispiel ist.
Ich denke, dass im letzten Fall das offene Intervall $(0;1)$ gemeint sein soll. Sonst ist [mm] $0=\frac{0}{q}$ [/mm] und [mm] $1=\frac{q}{q}$ [/mm] mehrdeutig und so sind beliebige Werte für $f(0)$ und $f(1)$ möglich.
Steht in der Aufgabenstellung, dass $g$ eine Regelfunktion ist?
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