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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Fr 23.10.2009 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | Es sei die Dirichlet-Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [0,1]/\IQ\\ 0, & \mbox{sonst}\end{cases} [/mm] |
Kann mir jemand sagen wie ich zeigen kann, wieso diese Funktion Lebesque-integrierbar ist?
Damit eine Funktion Lebesgue-integrierbar ist, muss ja Ober und Unterintegral übereinstimmen, doch was lässt sich als solche identifizieren? Auf Wikipedia habe ich unter Dirichlet-Funktion gesehen wie das mittels Masstheorie geht, doch gehts auch mit Ober und Unterintegral?
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> Es sei die Dirichlet-Funktion
> [mm]f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x \in [0,1]\cap\IQ & \mbox{sonst}\end{cases}[/mm]
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> Kann mir jemand sagen wie ich zeigen kann, wieso diese
> Funktion Lebesgue-integrierbar ist?
> Damit eine Funktion Lebesgue-integrierbar ist, muss ja
> Ober und Unterintegral übereinstimmen, doch was lässt
> sich als solche identifizieren? Auf Wikipedia habe ich
> unter Dirichlet-Funktion gesehen wie das mittels
> Masstheorie geht, doch gehts auch mit Ober und
> Unterintegral?
Mit "Ober- und Unterintegral" meinst du wohl die
Obersummen und Untersummen (und die dann
folgende Grenzwertbildung), wie man sie beim
Riemannschen Integral verwendet.
Genau dies versagt aber bei der Dirichletfunktion.
Hier sind alle Obersummen und auch ihr Limes
gleich Eins, die Untersummen und ihr Limes gleich
Null. Konsequenz: die Dirichletfunktion ist nicht
Riemann-integrierbar.
In der Definition des Lebesgue-Integrals braucht
man den Begriff des ![[]](/images/popup.gif) Lebesgue-Maßes und damit ein
Stück Maßtheorie.
Nachlesen kannst du dies auch da: Dirichlet-Funktion
LG Al-Chw.
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