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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Mo 09.10.2006 | | Autor: | nik03 |
Hallo,
Folgender Ausdruck soll eine diskrete Identität darstellen:
[mm] \frac{1}{n} \summe_{j=0}^{n-1} {e^{-i2\pi mj/n}} =\left\{\begin{matrix}
1, & m=0 \\
0, & m=1,...,n-1
\end{matrix}\right.
[/mm]
der Fall m=0 ist mir klar. Für m = 1..n-1 komm ich aber nicht auf die Null. Für z.B. n=3 und m=1 habe ich ja die Reihe:
[mm] \frac{1}{3}[1+e^{-i2\pi/3}+e^{-i4\pi/3}]
[/mm]
Wie kann das Null werden, kann mir da vielleicht jemand einen Tip geben?
Gruss
nik
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Nun, auch dieser Term ist 0!
bedenke, daß der imaginäre Teil des Exponenten der exp-Funktion einen Winkel darstellt. In der komplexen Zahlenebene ist eine EXP-Funktion mit rein imaginärem Exponenten ein Einheitsvektor, also der Länge 1, der mit der positiven, rellen (x-)Achse den angegebenen Winkel einschließt.
Das führt auch zu dieser Definition:
[mm] $e^{i\alpha}=\cos \alpha [/mm] + i [mm] \sin \alpha$
[/mm]
Wenn du dir jetzt die Winkel anschaust, siehst du schon gleich, daß sich die komplexen Teile aufheben. Und der cos von diesen Winkeln ist jeweils -0,5.
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