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Hallo zusammen
Brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
Es sei X eine nichtleere Menge und d die diskrete Metrik auf X. Bestimme alle offenen und abgeschlossenen Mengen von X.
Also die diskrete Metrik ist ja:
[mm] d(x,y):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \\ 1, & \mbox{für } x\not=y \end{cases}
[/mm]
Wie soll ich jetzt alle Mengen bestimmen die offenen und abgeschlossen sind?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 So 09.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
überlege dir Folgendes:
Wenn [mm] M\subseteq [/mm] X ist und [mm] x\in [/mm] M, welche Elemente liegen dann in [mm] U_{\bruch{1}{2}}(x) [/mm] ? Wieso ist M dann offen ? Was folgt daraus für abgeschlossenen Mengen ?
Gruß Sax.
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Hallo Sax
> Hi,
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> überlege dir Folgendes:
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> Wenn [mm]M\subseteq[/mm] X ist und [mm]x\in[/mm] M, welche Elemente liegen
> dann in [mm]U_{\bruch{1}{2}}(x)[/mm] ? Wieso ist M dann offen ? Was
> folgt daraus für abgeschlossenen Mengen ?
>
Was meinst du genau mit [mm] U_{\bruch{1}{2}}(x)?
[/mm]
Meinst du damit die offene Kugel um x?
> Gruß Sax.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 So 09.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja.
Die offene Kugel mit Radius 0,5 ist gemeint.
Gruß Sax.
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Hallo Sax
Also wir haben die offene Kugel definiert als:
[mm] B_r(x_0)={x \in X d(x,x_0)
Somit liegen doch alle Elemente in [mm] B_{\bruch{1}{2}} [/mm] für die gilt x=y, da ja bei diesen d(x,y)=0<0.5 gilt. (Bei [mm] x\not=y [/mm] wäre ja d(x,y)=1>0.5) Ist das richtig?
M ist dann offen, da es sich ja um die offene Kugel handelt??
Und was folgt nun für abgeschlossene Mengen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 So 09.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Hallo Sax
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> Also wir haben die offene Kugel definiert als:
> [mm]B_r(x_0)={x \in X d(x,x_0)
>
> Somit liegen doch alle Elemente in [mm]B_{\bruch{1}{2}}[/mm] für
> die gilt x=y, da ja bei diesen d(x,y)=0<0.5 gilt. (Bei
> [mm]x\not=y[/mm] wäre ja d(x,y)=1>0.5) Ist das richtig?
Das ist richtig, man kann es noch etwas prägnanter formulieren : B={x}.
> M ist dann offen, da es sich ja um die offene Kugel
> handelt??
Nein, M ist deshalb offen, weil die offene Kugel B ganz in M enthalten ist.
Weißt du, dass wir gerade bewiesen haben, dass jede Teilmenge M von X offen ist ?
> Und was folgt nun für abgeschlossene Mengen?
Die Frage muss lauten : "Wann ist eine Menge abgeschlossen ?"
Die Antwort heißt "Sie ist abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist."
>
Mit dem, was wir oben gezeigt haben, folgt also : "..."
Gruß Sax.
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Hallo Sax
Erstmals vielen, vielen Dank für deine Hilfe!
> Hi,
>
> > Hallo Sax
> >
> > Also wir haben die offene Kugel definiert als:
> > [mm]B_r(x_0)={x \in X d(x,x_0)
> >
> > Somit liegen doch alle Elemente in [mm]B_{\bruch{1}{2}}[/mm] für
> > die gilt x=y, da ja bei diesen d(x,y)=0<0.5 gilt. (Bei
> > [mm]x\not=y[/mm] wäre ja d(x,y)=1>0.5) Ist das richtig?
>
> Das ist richtig, man kann es noch etwas prägnanter
> formulieren : B={x}.
>
> > M ist dann offen, da es sich ja um die offene Kugel
> > handelt??
>
> Nein, M ist deshalb offen, weil die offene Kugel B ganz in
> M enthalten ist.
> Weißt du, dass wir gerade bewiesen haben, dass jede
> Teilmenge M von X offen ist ?
Ja, denn M ist offen [mm] \gdw \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 (z.B. [mm] \varepsilon=0.5): B_{\varepsilon}(x) \subset [/mm] M
>
> > Und was folgt nun für abgeschlossene Mengen?
>
> Die Frage muss lauten : "Wann ist eine Menge abgeschlossen
> ?"
> Die Antwort heißt "Sie ist abgeschlossen, wenn ihr
> Komplement offen ist."
Ja, und was folgt jetzt für M?
> >
> Mit dem, was wir oben gezeigt haben, folgt also : "..."
>
???
> Gruß Sax.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:46 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Sax
>
> Erstmals vielen, vielen Dank für deine Hilfe!
>
> > Hi,
> >
> > > Hallo Sax
> > >
> > > Also wir haben die offene Kugel definiert als:
> > > [mm]B_r(x_0)={x \in X d(x,x_0)
> > >
> > > Somit liegen doch alle Elemente in [mm]B_{\bruch{1}{2}}[/mm] für
> > > die gilt x=y, da ja bei diesen d(x,y)=0<0.5 gilt. (Bei
> > > [mm]x\not=y[/mm] wäre ja d(x,y)=1>0.5) Ist das richtig?
> >
> > Das ist richtig, man kann es noch etwas prägnanter
> > formulieren : B={x}.
> >
> > > M ist dann offen, da es sich ja um die offene Kugel
> > > handelt??
> >
> > Nein, M ist deshalb offen, weil die offene Kugel B ganz in
> > M enthalten ist.
> > Weißt du, dass wir gerade bewiesen haben, dass jede
> > Teilmenge M von X offen ist ?
>
>
> Ja, denn M ist offen [mm]\gdw \forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\exists \varepsilon[/mm]
> > 0 (z.B. [mm]\varepsilon=0.5): B_{\varepsilon}(x) \subset[/mm] M
ja, oder so: Ihr habt gezeigt, dass einelementige Mengen offen sind.
Bekanntlich sind beliebige Vereinigungen offener Mengen wieder offen,
so dass für jedes $M [mm] \subseteq [/mm] X$ (bzw. $M [mm] \in \text{Pot}(X)$) [/mm] wegen
[mm] $M=\bigcup_{x \in M}\{x\}$
[/mm]
folglich [mm] $M\,$ [/mm] offen sein muss.
> > > Und was folgt nun für abgeschlossene Mengen?
> >
> > Die Frage muss lauten : "Wann ist eine Menge abgeschlossen
> > ?"
> > Die Antwort heißt "Sie ist abgeschlossen, wenn ihr
> > Komplement offen ist."
>
> Ja, und was folgt jetzt für M?
Wir wissen bereits, dass JEDE Menge
$R [mm] \subseteq [/mm] X$
OFFEN sein muss. Nun wollen wir wissen, welche $M [mm] \subseteq [/mm] X$ denn abgeschlossen
sind:
Dazu schauen wir uns
[mm] $M^c:=X \setminus [/mm] M$
an. Offenbar ist
[mm] $\underbrace{M^c}_{\widehat{\,=\,}\,R} \subseteq [/mm] X$
dann auch offen - also ist (jede Menge) $M [mm] \subseteq [/mm] X$ sowohl ... als auch ...
P.S. Du kannst auch mit Folgen argumentieren: Sei $M [mm] \subseteq X\,.$ [/mm] Eine Menge
[mm] $M\,$ [/mm] ist genau dann abgeschlossen, wenn jede Folge, die in [mm] $X\,$ [/mm] konvergiert,
ihren Grenzwert schon in [mm] $M\,$ [/mm] hat.
Seien also [mm] $x_n \in [/mm] M$ mit [mm] $x_n \to [/mm] x [mm] \in X\,.$ [/mm] Zeige, dass dann [mm] $x_n$ [/mm] ab einem genügend
großen Index konstant sein muss. Da alle [mm] $x_n \in [/mm] M$ sind, folgt daraus
sofort $x [mm] \in M\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:11 Mo 10.03.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo Marcel
Vielen Dank für deine Antwort!
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