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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Diskriminante
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Diskriminante: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Sa 19.12.2009
Autor: chrissi2709

Aufgabe
Zeige:
für das polynom                  ist die diskriminante
[mm] x^3 [/mm] + [mm] ax^2 [/mm] + bx + c           [mm] a^2b^2 [/mm] - [mm] 4b^3 [/mm] - [mm] 4a^{3}c [/mm] - [mm] 27c^3 [/mm] + 18abc
[mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + c                 [mm] 2^4a^2c(4ac-b^2)^2 [/mm]

Hallo an alle!

ich weiß ja so grundsätzlich, wie man die diskriminante ausrechnet, aber eben nur von qudratischen polynomen;

wie mache ich das denn hier? ich kann hier ja auch keine nullstellen ausrechnen, weil ich ja nich weiß, was a, b, c ist;
kann mir da jemand weiterhelfen?
Danke schonmal

fg
Chrissi

        
Bezug
Diskriminante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Sa 19.12.2009
Autor: reverend

Hallo Chrissi,

[]Wikipedia gibt für das allgemeine kubische Polynom [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] mit [mm] a\not=0 [/mm] die folgende Diskriminante an, samt einem Hinweis auf die Herleitung:

[mm] D_3=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d+18abcd-27a^{2}d^{2} [/mm]

Der Artikel ist überhaupt ganz informativ. ;-)

lg
reverend

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Diskriminante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:32 Sa 19.12.2009
Autor: chrissi2709

Danke für die Antwort;

auf der Seite war ich schon und da steht ja auch nur dass durch Umformungen das Ergebnis rauskommt; aber die Umformungen, die ich machen muss sind mir nicht so ganz klar;
wie komme ich denn von der anfangsform
[mm] a^4(x_1 [/mm] − [mm] x_2)^2(x_1 [/mm] − [mm] x_3)^2(x_2 [/mm] − [mm] x_3)^2 [/mm] auf
[mm] b^2c^2 [/mm] − [mm] 4ac^3 [/mm] − [mm] 4b^{3}d [/mm] + 18abcd − [mm] 27a^2d^2? [/mm]

fg
Chrissi

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Bezug
Diskriminante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:54 Sa 19.12.2009
Autor: reverend

Hallo nochmal,

da steht doch auch

Mit dem []Satz von Vieta lässt sie sich (mit aufwendiger Rechnung) umformen

Das wäre allerdings eine Strafarbeit für Zehntklässler. Das willst Du nicht wirklich nachrechnen...

Ich jedenfalls bestimmt nicht.

lg
rev


Bezug
                                
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Diskriminante: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Sa 19.12.2009
Autor: chrissi2709

nein sicher will ich des nich nachrechnen aber ich muss doch zeigen, dass die diskriminante auch wirklich von dem polynom is und dazu muss ich des ausrechnen od nich?

Bezug
                                        
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Diskriminante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Sa 19.12.2009
Autor: reverend

Hmmm, gute Frage.
Die Aufgabe lautet ja "zeige". Da wird es nicht reichen, Wikipedia herumzuzeigen...

Andererseits kann hier nicht gefordert sein, dass Du seitenweise mit Wurzeln um Dich schmeißt, bis sie endlich wundersam alle wieder verschwinden und Du die angegebene Diskriminante erhältst.

Also fängt es irgendwo anders an, z.B. so: die Diskriminante wird genau dann Null, wenn mindestens eine Nullstelle eine mehrfache ist. Bei Polynomen 3. Grades hat man da ja nicht so viele Möglichkeiten:

1) [mm] x^3+ax^2+bx+c=0=(x-p)^2(x-q) [/mm]

2) [mm] x^3+ax^2+bx+c=0=(x-s)^3 [/mm]

Für diese beiden (beliebig angesetzten) Möglichkeiten kannst Du ja mal a,b,c bestimmen und zeigen, dass die Diskriminante Null ist.

Damit ist das "genau dann" aber noch nicht vollständig erschlagen.

Du musst also auch noch

3) [mm] x^3+ax^2+bx+c=0=(x-u)(x-v)(x-w) [/mm]

mit paarweise verschiedenen u,v,w untersuchen und zeigen, dass die Diskriminante dann [mm] \not=0 [/mm] ist.

Auch das ist noch eine ziemliche Rechnerei, aber sicher besser als die Wurzelwurschtelei mit Vieta.

Echt blöde Aufgabe. Ich beneide Dich nicht darum, zumal auch mit diesem Ansatz spätestens eine Neuntklässlerin nicht mehr überfordert sein sollte. Mir kommen solche Fleißarbeiten eben immer als Strafarbeit vor. Vielleicht schreibst Du hinter die Lösung noch 1729mal "Ich liebe Diskriminanten" und erklärst, was so besonders an der Zahl 1729 ist. Da gibt es eine kleine Geschichte über G.H.Hardy und Ramanujan... Aber das wäre vielleicht schon wieder unnötig spannend.

Viel Erfolg!
reverend

Bezug
                                                
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Diskriminante: kleiner Nachtrag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:24 Sa 19.12.2009
Autor: reverend

Doch noch eins zum Aufgabenverständnis:

"zeigen" ist nicht das gleiche wie "herleiten". Es genügt ja nachzuweisen, dass die gegebene Diskriminantenformel richtig ist. Ob es z.B. eine einfachere Formel geben könnte oder ob diese die einzige ist, musst Du nicht untersuchen.

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Diskriminante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 So 20.12.2009
Autor: HILFE16

Rechne doch einfach die Resultante von f und f´ aus. das geht wie determinanten von matrizen...damit kommst du auf die angegebenen determinanten.
viel spaß

Bezug
                                                
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Diskriminante: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:39 So 20.12.2009
Autor: reverend

Nette Idee.

[]Hier der etwas knappe Wikipedia-Artikel zum Thema.

lg
rev

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Diskriminante: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:46 So 20.12.2009
Autor: Tyskie84

Hallo,

vielleicht kann dir  []das auch nützlich sein. :-)

[hut] Gruß

Bezug
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