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| Aufgabe | Zeige:
für das polynom ist die diskriminante
[mm] x^3 [/mm] + [mm] ax^2 [/mm] + bx + c [mm] a^2b^2 [/mm] - [mm] 4b^3 [/mm] - [mm] 4a^{3}c [/mm] - [mm] 27c^3 [/mm] + 18abc
[mm] ax^4 [/mm] + [mm] bx^2 [/mm] + c [mm] 2^4a^2c(4ac-b^2)^2 [/mm] |
Hallo an alle!
ich weiß ja so grundsätzlich, wie man die diskriminante ausrechnet, aber eben nur von qudratischen polynomen;
wie mache ich das denn hier? ich kann hier ja auch keine nullstellen ausrechnen, weil ich ja nich weiß, was a, b, c ist;
kann mir da jemand weiterhelfen?
Danke schonmal
fg
Chrissi
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Hallo Chrissi,
![[]](/images/popup.gif) Wikipedia gibt für das allgemeine kubische Polynom [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] mit [mm] a\not=0 [/mm] die folgende Diskriminante an, samt einem Hinweis auf die Herleitung:
[mm] D_3=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d+18abcd-27a^{2}d^{2} [/mm]
Der Artikel ist überhaupt ganz informativ. 
lg
reverend
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Danke für die Antwort;
auf der Seite war ich schon und da steht ja auch nur dass durch Umformungen das Ergebnis rauskommt; aber die Umformungen, die ich machen muss sind mir nicht so ganz klar;
wie komme ich denn von der anfangsform
[mm] a^4(x_1 [/mm] − [mm] x_2)^2(x_1 [/mm] − [mm] x_3)^2(x_2 [/mm] − [mm] x_3)^2 [/mm] auf
[mm] b^2c^2 [/mm] − [mm] 4ac^3 [/mm] − [mm] 4b^{3}d [/mm] + 18abcd − [mm] 27a^2d^2?
[/mm]
fg
Chrissi
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Hallo nochmal,
da steht doch auch
Mit dem Satz von Vieta lässt sie sich (mit aufwendiger Rechnung) umformen
Das wäre allerdings eine Strafarbeit für Zehntklässler. Das willst Du nicht wirklich nachrechnen...
Ich jedenfalls bestimmt nicht.
lg
rev
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nein sicher will ich des nich nachrechnen aber ich muss doch zeigen, dass die diskriminante auch wirklich von dem polynom is und dazu muss ich des ausrechnen od nich?
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Hmmm, gute Frage.
Die Aufgabe lautet ja "zeige". Da wird es nicht reichen, Wikipedia herumzuzeigen...
Andererseits kann hier nicht gefordert sein, dass Du seitenweise mit Wurzeln um Dich schmeißt, bis sie endlich wundersam alle wieder verschwinden und Du die angegebene Diskriminante erhältst.
Also fängt es irgendwo anders an, z.B. so: die Diskriminante wird genau dann Null, wenn mindestens eine Nullstelle eine mehrfache ist. Bei Polynomen 3. Grades hat man da ja nicht so viele Möglichkeiten:
1) [mm] x^3+ax^2+bx+c=0=(x-p)^2(x-q)
[/mm]
2) [mm] x^3+ax^2+bx+c=0=(x-s)^3
[/mm]
Für diese beiden (beliebig angesetzten) Möglichkeiten kannst Du ja mal a,b,c bestimmen und zeigen, dass die Diskriminante Null ist.
Damit ist das "genau dann" aber noch nicht vollständig erschlagen.
Du musst also auch noch
3) [mm] x^3+ax^2+bx+c=0=(x-u)(x-v)(x-w)
[/mm]
mit paarweise verschiedenen u,v,w untersuchen und zeigen, dass die Diskriminante dann [mm] \not=0 [/mm] ist.
Auch das ist noch eine ziemliche Rechnerei, aber sicher besser als die Wurzelwurschtelei mit Vieta.
Echt blöde Aufgabe. Ich beneide Dich nicht darum, zumal auch mit diesem Ansatz spätestens eine Neuntklässlerin nicht mehr überfordert sein sollte. Mir kommen solche Fleißarbeiten eben immer als Strafarbeit vor. Vielleicht schreibst Du hinter die Lösung noch 1729mal "Ich liebe Diskriminanten" und erklärst, was so besonders an der Zahl 1729 ist. Da gibt es eine kleine Geschichte über G.H.Hardy und Ramanujan... Aber das wäre vielleicht schon wieder unnötig spannend.
Viel Erfolg!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:24 Sa 19.12.2009 | | Autor: | reverend |
Doch noch eins zum Aufgabenverständnis:
"zeigen" ist nicht das gleiche wie "herleiten". Es genügt ja nachzuweisen, dass die gegebene Diskriminantenformel richtig ist. Ob es z.B. eine einfachere Formel geben könnte oder ob diese die einzige ist, musst Du nicht untersuchen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:09 So 20.12.2009 | | Autor: | HILFE16 |
Rechne doch einfach die Resultante von f und f´ aus. das geht wie determinanten von matrizen...damit kommst du auf die angegebenen determinanten.
viel spaß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 So 20.12.2009 | | Autor: | reverend |
Nette Idee.
Hier der etwas knappe Wikipedia-Artikel zum Thema.
lg
rev
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Gruß
