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Forum "Analysis des R1" - Diskriminante quadr. Gleichung
Diskriminante quadr. Gleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Diskriminante quadr. Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Fr 13.07.2012
Autor: hula

Hallöchen

Wenn ich eine Gleichung habe

$$a [mm] \phi^2 [/mm] +2 b [mm] \phi [/mm] + [mm] c\ge [/mm] 0$$

wobei $a,b,c$ Konstanten sind und diese Gleichung für alle [mm] $\phi \in \mathbb{R}$ [/mm] gelten. Wieso folgt dann, dass

[mm] $$|b|\le \sqrt{ab}$$ [/mm]

Dankeschöön

hula

        
Bezug
Diskriminante quadr. Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Fr 13.07.2012
Autor: MathePower

Hallo hula,



> Hallöchen
>  
> Wenn ich eine Gleichung habe
>  
> [mm]a \phi^2 +2 b \phi + c\ge 0[/mm]
>  
> wobei [mm]a,b,c[/mm] Konstanten sind und diese Gleichung für alle
> [mm]\phi \in \mathbb{R}[/mm] gelten. Wieso folgt dann, dass
>  
> [mm]|b|\le \sqrt{ab}[/mm]

>


Das muss wohl so lauten:

[mm]\vmat{b} \le \wurzel{a\blue{c}}[/mm]

Das folgt durch simple Umformung
unter der Voraussetzung, dass [mm]a > 0[/mm] ist.

Damit dann aus dem Produkt a*c,
die Wurzel gezogen werden kann,
muß [mm]c \ge 0[/mm] gelten.


> Dankeschöön
>  
> hula


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Diskriminante quadr. Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Fr 13.07.2012
Autor: hula

Hallöchen MathPower

Genau, $a,c [mm] \ge [/mm] 0$ und dort sollte wirklich ein $c$ anstatt $b$ stehen. Wie geht dann die Umformung? Entschuldige, aber ich sehe sie nicht ein:)

Dankeschöön

hula

Bezug
                        
Bezug
Diskriminante quadr. Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:02 Fr 13.07.2012
Autor: Valerie20

Hi!

> Hallöchen MathPower
>  
> Genau, [mm]a,c \ge 0[/mm] und dort sollte wirklich ein [mm]c[/mm] anstatt [mm]b[/mm]
> stehen. Wie geht dann die Umformung? Entschuldige, aber ich
> sehe sie nicht ein:)
>  
> Dankeschöön
>  
> hula

Veranschaulicht stellt deine Gleichung doch eine Parabel dar, die Keine Schnittpunkte (Möglicherweise einen Berührpunkt) mit der [mm] \phi-Achse [/mm] besitzt, da [mm] a \phi^2 +2 b \phi + c\red{\ge} 0 [/mm] .

Nach der Mitternachts (bzw. Abc)-Formel gilt doch:

[mm]\phi_{1,2}=\frac{-2b\pm \sqrt{4b^2-4ac}}{2a}[/mm]


Damit die Parabel nun aber keine Schnittpunkte mit der [mm] \phi-Achse [/mm] besitzt, muss die Diskriminante kleiner oder gleich Null sein:

[mm] $4b^2-4ac\le [/mm] 0$

[mm] $\Rightarrow |b|\le\sqrt{ac}$ [/mm]

Valerie




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Bezug
Diskriminante quadr. Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Fr 13.07.2012
Autor: leduart

Hallo
beser mit quadratischer Ergänzung, [mm] y=\phi [/mm]
[mm] a(y^2+2b/a+b^2/a^2)-b^2/a [/mm] +c [mm] \ge0 [/mm]
[mm] a(y+b/a)^2-b^2/a [/mm] +c [mm] \ge0 [/mm]
der erste term ist immer [mm] \ge [/mm] 0 also muss auch der 2 te Term
[mm] -b^2/a [/mm] +c [mm] \ge [/mm] 0 sein daraus deine Ungl.
Gruss leduart

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