Diskussion gebr.rat.fkt. schar < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Mo 20.03.2006 | | Autor: | B-LaSh |
| Aufgabe | [mm] {f_{k}(x) }= \bruch{x}{x^{2}+x+k}
[/mm]
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Diese Aufgabe hat uns unser Mathelehrer heute gegeben, mit der Zusatzinformation, es sei die "königin der Funktionen".
Wir sollen eine volständige Diskussion zu dieser Funktion durchführen, jedoch meinte er, das wir die Wendestellen weglasen könnten, da es auch so genug Arbeit sei.
Ich bin jetzt nochz nicht so weit, wollt nur schonmal fragen ob denn mein Ansatz stimmt.
Und zwar hab ich mir überlegt, dass ich insgesamt wohl 3 Diskussionen durchführen muss,
eine für [mm] k<\bruch{1}{4},
[/mm]
eine für [mm] k=\bruch{1}{4}
[/mm]
und eine für [mm] k>\bruch{1}{4}
[/mm]
stimmt meine Überlegung denn soweit?
Morgen werde ich dann meine Fortschritte posten, vielen dank schonmal,
FranZ
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Mo 20.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo B-Lash,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Deine Idee ist an sich nicht verkehrt, allerdings auch überflüssig. Du brauchst lediglich eine Kurvendiskussion durchführen.
Deine genannte Fallunterscheidung ist lediglich relevant für die Bestimmung des Definitionsbereiches, Polstellen etc.
Dabei ist dann auch noch der Fall $k \ = \ 0$ interessant, da hier $x_$ gekürzt werden kann.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Di 21.03.2006 | | Autor: | B-LaSh |
[mm] {f_{k}(x) }= \bruch{x}{x^{2}+x+k} [/mm]
So inzwischen bin ich weiter gekommen, hab mich aber bei den Extremstellen aufgehangen.
Hier meine bisherigen Ergebnisse:
1. Definitionsmenge:
[mm] k<\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] D=\IR \not= (\pm \wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] k=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] D=\IR \not= (-\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] k>\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] D=\IR
[/mm]
k=0
[mm] D=\IR \not=(-1;0)
[/mm]
2.Symmetrie
Meine Meinung nach ist keine Symmetrie vorhanden.
3.Grenzverhalten
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=+0
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}=-0 [/mm] (x soll gegen -unendlich, wusst aber den code dafür nich)
Polstellen:
[mm] k<\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2} [/mm] ist Polstelle mit VZW von + nach -
[mm] -\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2} [/mm] ist Polstelle mit VZW von - nach +
[mm] k=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{2} [/mm] ist negative Polstelle
k=0
0 ist Polstelle mit VZW von + nach -
4.Nullstellen
x=0
5.Ableitungen
1.Ableitung = [mm] \bruch{-x^2+k}{(x^2+x+k)^4}
[/mm]
2.Ableitung = [mm] \bruch{2x^3-6kx+2k}{(x^2+x+k)^3}
[/mm]
6. Extremstellen
[mm] x=\pm\wurzel{k}
[/mm]
ich schaff es allerdings nicht diesen Kandidaten mit der 2. Bleitung zu überprüfen, wär nett wenn mir da jemand helfen könnte.
Wäre auch nett wenn jemand überhaupt mal über meine bisherigen Rechnungen drüber gucken könnte ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Di 21.03.2006 | | Autor: | B-LaSh |
Dankeschön,
das mit der behebbaren Lücke bei 0 (wenn k=0) hab ich auch gerade gemerkt =)
und ich hatte evrgessen den Fall -1 durch zu gehen.
Mit negativer Polstelle (so haben wir es im Unterricht gelernt) meine ich dass der Graph an beiden Seiten nach - Unendlich läuft.
Ich probier es jetzt nochmal mit dem einsetzen,
Vielen Dank Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Di 21.03.2006 | | Autor: | B-LaSh |
Bei der 1. Ableitung handelte es sich tatsächlich nur um einen Tippfehler ;)
(ansonsten wär die 2. a auch kaum richtig ^^)
So, ich häng mich bei der Extremstellenüberprüfung immer an folgender Stelle auf:
[mm] 2.Ableitung(\wurzel{k})=\bruch{-4k\wurzel{k}+2k}{8k^3+6k^2+12k^2\wurzel{k}+k\wurzel{k}}
[/mm]
ich weiß nicht wie ich den Term weiter vereinfachen könnte...
Hab ich bis dahin was falsch gemacht?
oder kann mir vielleicht jemand nen kleinen tipp geben? =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Di 21.03.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo B-Lash!
Zunächst muss man festhalten, dass lediglich (mögliche) Extremstellen existieren, wenn gilt: $k \ > \ 0$ . Anderenfalls wäre ja der Ausdruck [mm] $x_e [/mm] \ = \ [mm] \pm\ \wurzel{k}$ [/mm] nicht definiert.
[mm]f_k''(\wurzel{k})=\bruch{-4k\wurzel{k}+2k}{8k^3+6k^2+12k^2\wurzel{k}+k\wurzel{k}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Stimmt soweit (ich hätte im Zaäher nicht ausmultipliziert).
Klammern wir im Zähler mal aus:
[mm]f_k''(\wurzel{k})=\bruch{2k*\left(1-2\wurzel{k}\right)}{8k^3+6k^2+12k^2\wurzel{k}+k\wurzel{k}}[/mm]
Da für $k \ > \ 0$ der Nenner immer positiv ist, muss man lediglich für den Asudruck [mm] $1-2\wurzel{k}$ [/mm] eine Fallunterscheidung machen.
Für welchen Wert wird denn [mm] $1-2*\wurzel{k} [/mm] \ = \ 0$ ? Dann greift nämlich auch das hinreichende Kriterium nicht.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Di 21.03.2006 | | Autor: | B-LaSh |
So jetzt bin ich fast fertig,
Wendestellen berechnen brauchten wir ja zum Glück nicht. (habs mir mal angeguckt, wär ich wohl denk ich mal auch nicht drauf gekommen...)
Nur beim Zeichnen ist mir etwas aufgefallen was ich auch früher hätte sehen müssen.
Bei den Polstellen muss man nochmal weiter unterteilen:
denn
>
> [mm]k<\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2}[/mm] ist Polstelle mit VZW
> von + nach -
>
> [mm]-\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2}[/mm] ist Polstelle mit VZW
> von - nach +
gilt nur für [mm] 0
allerdings komm ich bei k<0 auf keine brauchbare Lösung um die Polstellen zu bestimmen =(
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Hallo B-LaSH,
ich klinke mich mal einfach in Eure Diskussion ein:
kennst du ![[]](/images/popup.gif) Funkyplot noch nicht?
Ich habe deine Funktion mal für drei Parameterwerte gezeichnet; hilft dir das zum Verständnis?
[Dateianhang nicht öffentlich]
> So jetzt bin ich fast fertig,
> Wendestellen berechnen brauchten wir ja zum Glück nicht.
> (habs mir mal angeguckt, wär ich wohl denk ich mal auch
> nicht drauf gekommen...)
> Nur beim Zeichnen ist mir etwas aufgefallen was ich auch
> früher hätte sehen müssen.
> Bei den Polstellen muss man nochmal weiter unterteilen:
>
> denn
>
> >
> > [mm]k<\bruch{1}{4}[/mm]
> >
> > [mm]\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2}[/mm] ist Polstelle mit VZW
> > von + nach -
> >
> > [mm]-\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2}[/mm] ist Polstelle mit VZW
> > von - nach +
>
> gilt nur für [mm]0
>
> allerdings komm ich bei k<0 auf keine brauchbare Lösung um
> die Polstellen zu bestimmen =(
Gruß informix
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 21.03.2006 | | Autor: | B-LaSh |
Hallo Informix,
danke für die Grafik, aber die Graphen hatte ich mir schlauerweise auch schon gezeichnet ;)
aber bei meiner Frage bin ich damit imemr noch nicht weiter.
Denn ich bin soweit fertig mit der Diskussion,
hab aber beim zeichnen gemerkt das ich etwas vergessen hatte
und zwar gilt:
Polstellen:
[mm] k<\bruch{1}{4} [/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2} [/mm] ist Polstelle mit VZW von + nach -
[mm] -\wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2} [/mm] ist Polstelle mit VZW von - nach +
nur für [mm] 0
für k<0 müsste man also auch noch die Polstellen berechnen, da weiß ich allerdings nicht wie =/
wäre nett wenn mir noch jemand helfen könnte
EDIT:
bin selbst drauf gekommen ;)
war n kleiner Denkfehler drin,
dadurch dass
[mm] \wurzel{\bruch{1}{4}-k}-\bruch{1}{2}
[/mm]
für k<0 immer größer als 0 ist, ändern sich die Polstellen und mein Problem hat sich gelöst (=
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:46 Di 21.03.2006 | | Autor: | B-LaSh |
also, jetzt hat mich doch der Ehrgeiz gepackt und ich wollte mal versuchen, die Wendestellen zu berechnen,
Hierbei scheitere ich allerdings schon im Ansatz =(
ich muss ja 2.Ableitung = 0 setzen
sprich, Zähler muss 0 werden
also:
[mm] 0=2x^3-6kx+2k
[/mm]
aber ab hier komm ich schon nicht mehr weiter,
klar, man könnte durch 2 teilen, aber auch das hat kaum Effekt =(
kann mir vielleicht noch jemand helfen?
am besten wäre noch heute ^^
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> also, jetzt hat mich doch der Ehrgeiz gepackt und ich
> wollte mal versuchen, die Wendestellen zu berechnen,
> Hierbei scheitere ich allerdings schon im Ansatz =(
>
> ich muss ja 2.Ableitung = 0 setzen
> sprich, Zähler muss 0 werden
richtig
> also:
>
> [mm]0=2x^3-6kx+2k[/mm]
richtig
> aber ab hier komm ich schon nicht mehr weiter,
> klar, man könnte durch 2 teilen, aber auch das hat kaum
> Effekt =(
Doch hat es, [mm] 0=x^{3}-3*k*x+k [/mm] ist doch schon mal leichter
Jetzte ratest du eine Nullstelle, ich rate mal x=2*k
probe: 0= 2k-3k+k=0 --> x=2k ist deine erste nullstelle
jetz polynomdivision durch die nullstelle sprich
[mm] x^{3}-3*k*x+k [/mm] : (x-2k)
dadurch "befreist" du die gleichung 3. grades von der nullstelle und hast eine gleichung 2. grades die du mit der p/q formel lösen kannst.
Leider alles falsch. So ein mist. Ich würde fast sagen das es keine allgemeine lösung gibt. bin selber auf die lösung/-weg gespannt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Di 21.03.2006 | | Autor: | B-LaSh |
oH kLar, danke,
wieso bin ich nicht selbst auf Polynomdivision gekommen ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Di 21.03.2006 | | Autor: | B-LaSh |
> > klar, man könnte durch 2 teilen, aber auch das hat kaum
> > Effekt =(
>
> Doch hat es, [mm]0=x^{3}-3*k*x+k[/mm] ist doch schon mal leichter
>
> Jetzte ratest du eine Nullstelle, ich rate mal x=2*k
> probe: 0= 2k-3k+k=0 --> x=2k ist deine erste nullstelle
ne leider nicht, es wäre [mm] 0=(2k)^3-3k*2k+k
[/mm]
und somit keine nullstelle =(
>
> jetz polynomdivision durch die nullstelle sprich
> [mm]x^{3}-3*k*x+k[/mm] : (x-2k)
>
> dadurch "befreist" du die gleichung 3. grades von der
> nullstelle und hast eine gleichung 2. grades die du mit der
> p/q formel lösen kannst.
>
>
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 22:23 Di 21.03.2006 | | Autor: | B-LaSh |
> also, jetzt hat mich doch der Ehrgeiz gepackt und ich
> wollte mal versuchen, die Wendestellen zu berechnen,
> Hierbei scheitere ich allerdings schon im Ansatz =(
>
> ich muss ja 2.Ableitung = 0 setzen
> sprich, Zähler muss 0 werden
>
> also:
>
> [mm]0=2x^3-6kx+2k[/mm]
>
> aber ab hier komm ich schon nicht mehr weiter,
> klar, man könnte durch 2 teilen, aber auch das hat kaum
> Effekt =(
>
> kann mir vielleicht noch jemand helfen?
> am besten wäre noch heute ^^
hat vielleicht sonst noch jemand eine idee, oder gibts es vielleicht echt keinen Lösungsweg?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:54 Mi 22.03.2006 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> [mm]0=2x^3-6kx+2k[/mm]
>
> aber ab hier komm ich schon nicht mehr weiter,
Ich schreibe es ungerne, aber das geht mit der Formel von Cardano. In ihrer vereinfachten Form glücklicherweise:
[mm] x^{3}-3kx+k=0
[/mm]
[mm] \gdw x=\wurzel[3]{-\bruch{k}{2}+\wurzel{\bruch{k^{2}}{4}-k^{3}}}+\wurzel[3]{-\bruch{k}{2}-\wurzel{\bruch{k^{2}}{4}-k^{3}}}.
[/mm]
Aber ob dich bei deiner Aufgabe weiterbringt...
Gruß,
dormant
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Wie sieht es hier mit VZW aus?
