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| Aufgabe | Diskutiere folgende Funktion (Symmetrie, Nullstellen, Asymptoten, Extrem- und Wendepunkte):
f(x) = [mm] xe^x [/mm] , Df = [mm] \IR [/mm] |
Hallo!
Ich habe folgendes Problem zu der Aufgabe im Schulbuch Anschauliche Analysis 2 Grundkurs auf Seite 101 nr. 21.
Bisher hatte ich bei Diskussion keine Probleme, aber wegen der Eulerschen Zahl stehe ich momentan echt auf dem Schlauch....
Mein Lösungsansatz ist wie folgt:
f' (x) = [mm] e^x [/mm] + [mm] xe^x
[/mm]
f'' (x) = [mm] 2e^x [/mm] + [mm] xe^x [/mm] + [mm] xe^x
[/mm]
f''' (x) = [mm] 3e^x [/mm] + [mm] xe^x
[/mm]
Weiter weiß ich leider nicht.......:-(
Vielen vielen Dank für Eure/Ihre Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 So 10.12.2006 | | Autor: | Barncle |
Also ich geb dir mal nen Tip der hoffentlich stimmt:
Für dir Nullstelle würd ich wie immer vorgehen und dann mal den limes x gegen null und x gegen minusunendlich machen.... mit de l'hospital.... dann solltest du deine Nullstellen bekommen ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 So 10.12.2006 | | Autor: | Dr.Sway |
Hallo
f' (x) = $ [mm] e^x [/mm] $ + $ [mm] xe^x [/mm] $
f'' (x) = $ [mm] 2e^x [/mm] $ + $ [mm] xe^x [/mm] $ + $ [mm] xe^x [/mm] $
f''' (x) = $ [mm] 3e^x [/mm] $ + $ [mm] xe^x [/mm] $
am besten du klammerst erst mal gemeinsame Faktoren aus.
f' (x) = [mm] e^x [/mm] (1+x)
f'' (x) = [mm] e^x [/mm] (2+x)
f''' (x) = [mm] e^x [/mm] (3+x)
so Nullstellen:
x [mm] e^x [/mm] = 0
so [mm] e^x [/mm] kann nicht null werden also muss der faktor davor betrachtet werden und x [mm] e^x [/mm] wird für x=0 Null.
Nullstelle an (0/0)
Asymptoten:
x [mm] e^x: [/mm] für diese Funktion gibt es nur eine Asymptote für x-> -∞ da [mm] e^x [/mm] für einen hohen x-Wert ganz klein wird und das x davor nur das Vorzeichen steuert. (da e die am schnellsten wachsende Basis ist)
=> also asympote gegen null für x-> -∞
Extrempunkte ist das selbe
f' (x) = [mm] e^x [/mm] (1+x)
(1+x)=0 für x=-1
dann machst die eine kleine skitze mit der linearen Funktion x+1 und weißt dann für ]-∞;-1] ist die f streng monoton fallend und für [-1; ∞[ steng monoton steigend => ein Tiefpunkt an (-1/..)
Wendepunkte genauso
nur über die Krümmung
(2+X) = 0
x=-2 und dann linkgekr.]-∞;-2] und rechtsgekr. [-2; ∞[
Wp (-2/..)
mfg
Sabrina
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ok..
hab nur noch paar unklarheiten:
wie ist des mit der Symmetrie? liegt die in dem Fall vor??
wie könnte man die Lösung mit der Asymptote in limes-Form darstellen?
ist der Tiefpunkt jetzt bei (-1 / 0) oder muss ich -1 in die Funktion einsetzen?
was sind jetzt die Koordinaten des WEP?
Danke!
> Hallo
>
> f' (x) = [mm]e^x[/mm] + [mm]xe^x[/mm]
> f'' (x) = [mm]2e^x[/mm] + [mm]xe^x[/mm] + [mm]xe^x[/mm]
> f''' (x) = [mm]3e^x[/mm] + [mm]xe^x[/mm]
>
> am besten du klammerst erst mal gemeinsame Faktoren aus.
>
> f' (x) = [mm]e^x[/mm] (1+x)
> f'' (x) = [mm]e^x[/mm] (2+x)
> f''' (x) = [mm]e^x[/mm] (3+x)
>
> so Nullstellen:
>
> x [mm]e^x[/mm] = 0
>
> so [mm]e^x[/mm] kann nicht null werden also muss der faktor davor
> betrachtet werden und x [mm]e^x[/mm] wird für x=0 Null.
> Nullstelle an (0/0)
>
> Asymptoten:
>
> x [mm]e^x:[/mm] für diese Funktion gibt es nur eine Asymptote für
> x-> -∞ da [mm]e^x[/mm] für einen hohen x-Wert ganz klein wird
> und das x davor nur das Vorzeichen steuert. (da e die am
> schnellsten wachsende Basis ist)
> => also asympote gegen null für x-> -∞
>
> Extrempunkte ist das selbe
> f' (x) = [mm]e^x[/mm] (1+x)
> (1+x)=0 für x=-1
> dann machst die eine kleine skitze mit der linearen
> Funktion x+1 und weißt dann für ]-∞;-1] ist die f
> streng monoton fallend und für [-1; ∞[ steng monoton
> steigend => ein Tiefpunkt an (-1/..)
>
> Wendepunkte genauso
> nur über die Krümmung
> (2+X) = 0
> x=-2 und dann linkgekr.]-∞;-2] und rechtsgekr.
> [-2; ∞[
> Wp (-2/..)
>
> mfg
> Sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 So 10.12.2006 | | Autor: | Dr.Sway |
Hi
Ja immer für die y-Koordinaten die x-Werte in die Ausgangsfunktion einsetzen
TP (-1/-0,37) WP(-2/-0,27)
und symetrie
f(x) = f(-x) wäre das richtig liegt achsensymetrei vor
-f(x) = f-x) wäre das richtig liegt punktsymetrei vor
Jedoch hier gibt es keine Symetrie
und mit lim naja meine überlegung ist ja nach dem schema des lim
kannst ja ∞ und -∞ einsetzen, kommst auf's gleiche ergebnis.
mfg
Sabrina
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Habe jetzt auch mal eine Kurvendiskussion dazu gemacht (weil ich unter anderem morgen auch ne Matheklausur mit den gleichen Themen schreibe und das ja eine gute Übung ist...)
dann habe ich noch eine Frage zu dem Verhalten.
Ist das verhalten x->0 von vorneherein schon ausgeschlossen weil e nie gegn null geht?
und ist dies die richtige lösung: ?
x-> [mm] \infty [/mm] => [mm] f(x)->\infty
[/mm]
x-> [mm] -\infty [/mm] => f(x) -> - [mm] \infty [/mm] (weil eigentlich ja das ergebniss dann sehr klein wird?!)
Dann müssen wir immer noch den Schnittpunkt mit der y-Achse errechnen, haba aber kein Plan wie das geht , da ich in der Stunde nciht da war. Genauso weiß ich nicht was eine Asymptote ist.
Wäre nett wenn mir noch jemand helfen könnte
Dankeschön
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 So 10.12.2006 | | Autor: | hopsie |
zum Thema Asymptoten schau mal hier  Asymptote
Und der Schnittpunkt mit der y-achse ist ganz leicht zu berechnen. Was weißt du denn allgemein über Punkte, die auf der y-Achse liegen? Was haben sie gemeinsam?
gruß
hospie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 So 10.12.2006 | | Autor: | Dr.Sway |
Hi
also x->0 muss ja nicht sein, da der Berich ja definiert ist (muss nur gegen werte laufen die nicht bekannt sind wie ∞ oder wenn Asyptoten vorliegen wie eine Senkrechte Asymptote)
und für x-> -∞ lauft f(x) gegen 0 wie in einer vorherigen Anwort genauer beschrieben.
und Schnittpunkt mir y-Achse wie immer für x=0 in die Ausgansgleichung setzen also 1 ( und bei e-Funktionen ist immer der Y-Achensabschnitt 1; is so festgelegt wie ne Regel)
mfg
Sabrina
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