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Diskussion von Trigonometrischen Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Sa 03.04.2004
Autor: dancingestrella

Hallo!
Ich kann mich nicht mehr ganz so gut an die Trigonometrischen Funktionen erinnern, kann mir bitte jemand sagen, ob meine Vermutungen/Lösungen richtig sind?
Also:
f(x)= cos x
g(x) = cos^2x

Von f weiß ich, dass sie y-achsensymmetrisch ist.
Um g auf Symmetrie zu überprüfen wende ich folgendes an:
1.) g(-x)=g(x)
     [mm] (cos(-x))^2 [/mm] = [mm] (cosx)^2 [/mm] --> richtig

Zu den Nullstellen:
Die erste Nullstelle liegt bei Pi/2 vor. Die nächste bei 3/2Pi.
Ich bin mir nicht sicher, wie ich es für alle Nulstellen formulieren kann, vielleicht so:
x=Pi/2 *k
k E Z außer 2Z  ???

Liegee ich da richtig???

        
Bezug
Diskussion von Trigonometrischen Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:32 Sa 03.04.2004
Autor: Marc

Hallo dancingestrella!

>  Also:
>  f(x)= cos x
>  g(x) = cos^2x
>  
> Von f weiß ich, dass sie y-achsensymmetrisch ist.
>  Um g auf Symmetrie zu überprüfen wende ich folgendes an:
>  1.) g(-x)=g(x)
>       [mm] (cos(-x))^2 [/mm] = [mm] (cosx)^2 [/mm] --> richtig

Genau, wegen der y-Achsensymmetrie von cos(x) gilt deine letzte Gleichung.
  

> Zu den Nullstellen:
>  Die erste Nullstelle liegt bei Pi/2 vor. Die nächste bei
> 3/2Pi.
>  Ich bin mir nicht sicher, wie ich es für alle Nulstellen
> formulieren kann, vielleicht so:
>  x=Pi/2 *k
>  k E Z außer 2Z  ???
>  
> Liegee ich da richtig???

Ja, das ist richtig, aber umständlich formuliert.

Zunächst einmal haben $f$ und $g$ dieselben Nullstellen, das aber nur nebenbei bemerkt.

Richtig ist, dass [mm] $x=\bruch{\pi}{2}$ [/mm] und [mm] $x=\bruch{3\pi}{2}$ [/mm] Nullstellen sind, und du hast ja bereits selbst bemerkt, dass [mm] $x=\bruch{\pi}{2}*k$ [/mm] nicht für gerade $k$ gilt. "Nicht für gerade $k$" heißt aber für "ungerade $k$" und ungerade $k$ kannst du elegant schreiben zu $k=2n+1$ mit [mm] $n\in\IN$. [/mm] Dieses eingesetzt in deine Formel ergibt:

[mm] $x=\bruch{\pi}{2}*k=\bruch{\pi}{2}*(2n+1)=\bruch{2n\pi}{2}+\bruch{\pi}{2}=n*\pi+\bruch{\pi}{2}$ [/mm] mit [mm] $n\in\IN$ [/mm]

Allerdings würde ich diese Formel lieber so finden:
Du überlegst dir zunächst, mit welcher Periode $p$ die Nullstellen (das gleiche gilt natürlich auch für Extremstellen, Wendestellen etc.) auftreten. Deine beiden Beispielnullstellen oben waren ja "benachbart", und da sie den Abstand [mm] $\pi$ [/mm] haben, haben wir eine Periode von [mm] $p=\pi$. [/mm]
Jetzt nimm' dir eine beliebige Nullstelle [mm] $x_0$ [/mm] her, der Einfachheithalber vielleicht eine aus dem Hauptbereich des Kosinus [mm] $[0;2\pi[$, [/mm] ich nehme mal [mm] $x_0=\bruch{\pi}{2}$. [/mm]

Nun haben alle Nullstellen diese Form:
[mm] $x_k=x_0+p*k$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$ [/mm]
also in deinem speziellen Fall
[mm] $x_k=\bruch{\pi}{2}+\pi*k$ [/mm] mit [mm] $k\in\IZ$ [/mm] (das ist das gleiche wie oben).


Viele Grüße,
Marc


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