Distributivges.-->Beweis d.VI < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:55 Mo 28.08.2006 | | Autor: | Stella- |
| Aufgabe | [mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in \IN: (b+c)\*a=ab+ac
[/mm]
Beweise durch vollständige Induktion nach a. |
Hallo!
Die Grundsätze der VI sind mir klar, womit ich nach wie vor Probleme habe, ist das Einsetzen beim Induktionsschritt.
Hier noch die Axiome, die ich beim Umformen verwende:
M1: [mm] \forall m\in \IN: m\*0=0\*m=0
[/mm]
A1: [mm] \forall n\in \IN: [/mm] n+0=0+n=0
IB: a=0 [mm] (b+c)\*0=0\*b+0\*c [/mm] (M1 und A1)
0=0 w.A.
IA: a=k [mm] (b+c)\*k=k\*b+k\*c
[/mm]
IS: a=k´ laut Skript: [mm] (b+c)\*(k+1)=b \* [/mm] k´+c [mm] \* [/mm] k´
Ich hätte jetzt gerne die Versicherung, dass es erstens bei der VI IMMER möglich ist, einfach auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens das k = k+1 zu setzen, und zweitens eine Korrektur zu meinen Versionen, weil ich nicht sehe, was ich da immer aus Prinzip falsch (anders) mache.
Ich dachte immer, ich muss auf einer Seite "einen richtigen Schritt" (wird bei meinen zwei Versionen ersichtlich) machen, und kann auf der anderen das k=k+1 setzen. Wenn sich dann der Ausdruck reproduziert, passt die Sache. Bei der oberen Version habe ich das Gefühl, ich umgehe was.
Hier meine Alternativen:
IS1: [mm] (b+c)\*(k+1) [/mm] = [mm] (k\*b)+(k\*c) [/mm] +(b+c)
links eingesetzt, rechts der Schritt
IS2: [mm] ((b+c)\*k) [/mm] +(b+c) = [mm] ((k+1)\*b)+(k+1)\*c)) [/mm]
links der Schritt, rechts eingesetzt
Würde mir bitte jemand sagen, wo mein Denkfehler liegt?
Stella
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Inzwischen habe ich eine Vermutung:
In meinen Versionen habe ich einen Schritt übersprungen. Wenn man auf beiden Seiten k=k+1 setzt, dann muss ich danach das Multiplikationsaxiom (M2: [mm] \forall [/mm] m,n [mm] \in \IN: [/mm] m [mm] \* [/mm] k´= m [mm] \*n [/mm] + m) anwenden, um zu meiner Version IS2 zu gelangen.
Insofern ist mein Ansatz falsch, oder nicht?
Oder darf ich auf beide Arten vorgehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Di 29.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Stella und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> [mm]\forall[/mm] a,b,c [mm]\in \IN: (b+c)\*a=ab+ac[/mm]
>
> Beweise durch vollständige Induktion nach a.
> Die Grundsätze der VI sind mir klar, womit ich nach wie vor
> Probleme habe, ist das Einsetzen beim Induktionsschritt.
>
> Hier noch die Axiome, die ich beim Umformen verwende:
> M1: [mm]\forall m\in \IN: m\*0=0\*m=0[/mm]
> A1: [mm]\forall n\in \IN:[/mm]
> n+0=0+n=0
>
> IB: a=0 [mm](b+c)\*0=0\*b+0\*c[/mm] (M1 und A1)
> 0=0 w.A.
Hier fangen die Probleme schon an. Was du als IB bezeichnest, ist eine Gleichung, deren Richtigkeit du erst noch zeigen willst. Also solltest du diese Gl. kommentieren durch einen Satz wie 'Für den IB ist zu zeigen:' oder du formst innerhalb einer Gleichungskette um und gibst jeweils an, welche Regel du anwendest:
[mm] (b+c)\*0 [/mm] = 0 (wg. M1) = 0 + 0 (wg. A1) = [mm] 0\*b [/mm] + [mm] 0\*c [/mm] (2mal M1)
In dieser Kette ist jedes '=' logisch begründet.
> IA: a=k [mm](b+c)\*k=k\*b+k\*c[/mm]
>
> IS: a=k´ laut Skript: [mm](b+c)\*(k+1)=b \*[/mm] k´+c [mm]\*[/mm] k´
Bemerkung: Du brauchst dein a nicht umzutaufen, sondern kannst auch mit a und a' arbeiten.
Aber das Problem ist, daß deine beiden Axiome alleine zum Beweis nicht ausreichen. Du brauchst (vermutlich) die Definitionen von Addition und Multiplikation und am besten auch noch, daß beides kommutativ ist. Ich weiß leider nicht, was du aus der Vorlesung verwenden darfst.
> Ich hätte jetzt gerne die Versicherung, dass es erstens bei
> der VI IMMER möglich ist, einfach auf beiden Seiten des
> Gleichheitszeichens das k = k+1 zu setzen,
Dann steht da eine Gleichung, deren Richtigkeit aber (unter Verwendung der IA) erst noch gezeigt werden muß. Deswegen ist es besser, das so nur auf dem Schmierzettel zu machen.
> und zweitens
> eine Korrektur zu meinen Versionen, weil ich nicht sehe,
> was ich da immer aus Prinzip falsch (anders) mache.
>
> Ich dachte immer, ich muss auf einer Seite "einen richtigen
> Schritt" (wird bei meinen zwei Versionen ersichtlich)
> machen, und kann auf der anderen das k=k+1 setzen. Wenn
> sich dann der Ausdruck reproduziert, passt die Sache. Bei
> der oberen Version habe ich das Gefühl, ich umgehe was.
Ich lasse das mal halb beantwortet und lasse mir das nochmal durch den Kopf gehen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mi 30.08.2006 | | Autor: | Stella- |
Hallo Dieter,
Vielen Dank fürs Anschauen! Du hast schon Recht, es werden natürlich noch weitere Axiome für den vollständigen Beweis gebraucht. Aber um den ging es mir eigentlich nicht, sondern rein um den Induktionsschritt.
Und nachdem Du ja geschrieben hast, dass jedes = axiomatisch begründet werden muss, muss damit auch mein Induktionsschritt falsch sein, weil ich dabei eines übergehe.
Liebe Grüße,
Stella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 Do 31.08.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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