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| Aufgabe | Man zeige, dass für je drei Mengen $A, B, C$ gilt:
[mm] [quote]$A\cap(B\cup [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)$.[/quote] |
1. [mm] $A=\emptyset$
[/mm]
[mm] $\emptyset \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) = [mm] \emptyset$
[/mm]
[mm] $(\emptyset \cap [/mm] B) [mm] \cup (\emptyset \cap [/mm] C) = [mm] \emptyset \cup \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Gleichheit
2. $(B [mm] \cup [/mm] C) = [mm] \emptyset \Rightarrow B=\emptyset$ [/mm] und $C = [mm] \emptyset$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] A [mm] \cap \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset$
[/mm]
$(A [mm] \cap \emptyset) \cup [/mm] (A [mm] \cap \emptyset) [/mm] = [mm] \emptyset \cup \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Gleichheit
3. $A,B,C [mm] \not= \emptyset$
[/mm]
[mm] "$\subset$"
[/mm]
[mm]x \in A[/mm] und [mm]x \in (B \cup C) \Rightarrow x \in A[/mm] und ([mm]x \in B[/mm] oder [mm]x \in C[/mm])
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ oder [mm] $x\in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)$
[mm] $\Rightarrow A\cap(B\cup [/mm] C) [mm] \subset [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)$
[mm] "$\supset$"
[/mm]
$x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)$ oder $x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \Rightarrow x\in [/mm] A$ und $x [mm] \in [/mm] B$ oder $x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] C$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$
$ A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) [mm] \supset [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)$
Aus [mm] "$\subset$" [/mm] und [mm] "$\supset$" [/mm] folgt Gleichheit.
Ich wollte wissen, ob ich alle Fälle berücksichtigt habe und keinen logischen Fehler in meinem Beweis habe.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Mi 16.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Man zeige, dass für je drei Mengen [mm]A, B, C[/mm] gilt:
> [mm]A\cap(B\cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)[/mm].
Erstmal:
> 1.
> [mm]A=\emptyset[/mm]
> [mm]\emptyset \cap (B \cup C) = \emptyset[/mm]
> [mm](\emptyset \cap B) \cup (\emptyset \cap C) = \emptyset \cup \emptyset = \emptyset[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Gleichheit
>
> 2. [mm](B \cup C) = \emptyset \Rightarrow B=\emptyset[/mm] und [mm]C = \emptyset[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A \cap \emptyset = \emptyset[/mm]
> [mm](A \cap \emptyset) \cup (A \cap \emptyset) = \emptyset \cup \emptyset = \emptyset[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Gleichheit
Diese beiden Faelle brauchst du nicht! Der hier reicht voellig:
> 3. [mm]A,B,C \not= \emptyset[/mm]
>
> "[mm]\subset[/mm]"
> [mm]x \in A[/mm] und [mm]x \in (B \cup C) \Rightarrow x \in A[/mm] und ([mm]x \in B[/mm]
> oder [mm]x \in C[/mm])
> [mm]\Rightarrow x \in (A \cap B)[/mm] oder [mm]x\in (A \cap C)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow A\cap(B\cup C) \subset (A \cap B) \cup (A \cap C)[/mm]
>
> "[mm]\supset[/mm]"
> [mm]x \in (A \cap B)[/mm] oder [mm]x \in (A \cap C) \Rightarrow x\in A[/mm]
> und [mm]x \in B[/mm] oder [mm]x \in A und x \in C[/mm]
> [mm]\Rightarrow x \in A \cap (B \cup C)[/mm]
>
> [mm]A \cap (B \cup C) \supset (A \cap B) \cup (A \cap C)[/mm]
> Aus
> "[mm]\subset[/mm]" und "[mm]\supset[/mm]" folgt Gleichheit.
>
>
> Ich wollte wissen, ob ich alle Fälle berücksichtigt habe
> und keinen logischen Fehler in meinem Beweis habe.
Hast du nicht. Du kannst natuerlich noch eventuell mehr Zwischenschritte aufschreiben, aber stimmen tut es schon.
LG Felix
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