Divergente Umordnung von Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 01:09 Sa 24.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
ich verstehe bei einem Beweis ab einer bestimmten Stelle nur Bahnhof und möchte euch um Hilfe bitten. Es geht um den Beweis, dass eine konvergente aber nicht absolut konvergente Reihe stets so umgeordnet werden kann, dass sie divergiert.
Beweis: Nun sei also [mm] \summe_{k=10}^{\infty} a_{n} [/mm] eine konvergente reelle Reihe die nicht absolut konvergent ist. Somit müssen dann sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Summanden vorkommen. Damit können wir die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] in eine positive Teilfolge [mm] (a_{n_{k}^{+}})_{k\in\IN} [/mm] und eine negative Teilfolge [mm] (a_{n_{k}^{-}})_{k\in\IN} [/mm] einteilen, es soll also
[mm] \{ n_{k}^{+} | k\in\IN \} [/mm] = [mm] \{n\in\IN | a_{n} \ge 0 \} [/mm] und
[mm] \{ n_{k}^{-} | k\in\IN \} [/mm] = [mm] \{n\in\IN | a_{n} < 0 \}
[/mm]
gelten. Da [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}| [/mm] = [mm] \infty [/mm] ist, müssen
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{+}} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] und [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{-}} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
gelten. Dies bedarf einer kleinen Begründung, nehme also einmal an, dass etwa der positive Teil [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{+}} [/mm] < [mm] \infty [/mm] ist. Wir betrachten dann durch
[mm] b_{n}^{+}:= \begin{cases} a_{n}, & a_{n} \ge 0 \\ 0, & a_{n} < 0 \end{cases}
[/mm]
für n [mm] \in\IN [/mm] definierte Folge. Die Partialsummen der Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n}^{+} [/mm] sind dann im wesentlichen dieselben wie diejenigen der Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{+}} [/mm] nur dass jedes Folgenglied eventuell endlich oft wiederholt wird. Also ist auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n}^{+} [/mm] konvergent. Damit ist aber auch
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}| [/mm] = 2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n}^{+} [/mm] - [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}
[/mm]
konvergent, im Widerspruch dazu dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] als nicht absolut konvergent vorausgesetzt ist. Also ist [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{+}} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] und analog folgt auch [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{-}} [/mm] = [mm] -\infty. [/mm]
(( 1
Wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n_{k}^{-}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 0 gibt es ein p [mm] \in \IN [/mm] mit -1 < [mm] a_{n_{k}^{-}} [/mm] < 0 für alle k [mm] \in \IN [/mm] mit k > p
1 ))
(( 2
Setze [mm] q_{0} [/mm] := -1. Ist k [mm] \in \IN [/mm] und ist [mm] q_{k} \in \IN \cup [/mm] {-1} bereits definiert, so ist wegen [mm] \summe_{l=0}^{\infty} a_{n_{l}^{+}} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] auch [mm] \summe_{l=q_{k}+1}^{\infty} a_{n_{l}^{+}} [/mm] = [mm] +\infty, [/mm] und somit existiert ein [mm] q_{k+1} \in \IN [/mm] mit [mm] q_{k+1} [/mm] > [mm] q_{k} [/mm] und [mm] \summe_{l=q_{k}+1}^{q_{k+1}} a_{n_{l}^{+}} [/mm] > 2.
2 ))
(( 3
Weiter definieren wir die Zahlen
[mm] m_{k} [/mm] := p + 1 + [mm] \summe_{l=0}^{k-1} (q_{l+1} [/mm] - [mm] q_{l} [/mm] + 1) = k + [mm] q_{k} [/mm] + p + 2
für alle k [mm] \in \IN, [/mm] also p+1 = [mm] m_{0} [/mm] < [mm] m_{1} [/mm] < [mm] m_{2} [/mm] < [mm] m_{3} [/mm] ...
3 ))
(( 4
Definiere jetzt die Umordnung
[mm] \tau: \IN \to \IN; [/mm] l [mm] \mapsto \begin{cases} n_{l}^{-}, & 0 \le l \le p \\ n_{q_{k}+l-m_{k}+1}^{+}, & m_{k} \le l < m_{k+1} - 1 \mbox{ für ein k} \in \IN, \\ n_{p+k+1}^{-}, & l = m_{k+1} - 1 \mbox{ für ein k} \in \IN. \end{cases}
[/mm]
Setze M:= [mm] \summe_{k=0}^{p} a_{n_{k}^{-}}. [/mm] Für jedes k [mm] \in \IN [/mm] gelten
[mm] \summe_{l=m_{k}}^{m_{k+1}-2} a_{\tau(l)} [/mm] = [mm] \summe_{l=q_{k}+1}^{q_{k+1}} a_{n_{l}^{+}} [/mm] > 2 und [mm] \summe_{l=m_{k}}^{m_{k+1}-1} a_{\tau(l)} [/mm] = [mm] \summe_{l=m_{k}}^{m_{k+1}-2} a_{\tau(l)} [/mm] + [mm] a_{n_{p+k+1}^{-}} [/mm] > 1,
also ist für alle k [mm] \in \IN [/mm] und alle m [mm] \in \IN [/mm] mit m [mm] \ge m_{k+1} [/mm] auch
[mm] \summe_{l=0}^{m} a_{\tau(l)} \ge [/mm] M + k.
Dies zeigt [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{\tau(n)} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] und insbesondere ist die umgeordnete Reihe divergent.
4 ))
Ich habe nun ein paar Fragen:
Zu 1 Ist dies so, da die Folge [mm] (a_{n_{k}^{-}}) [/mm] aus nur negativen Gliedern besteht und eine Nullfolge ist und deshalb ab einem gewissen Index p ein Folgenglied > -1 ist aber dann für k > p alle weiteren Folgenglieder gegen 0 konvergieren?
Zu 2 habe ich die Fragen
a) wieso steht dort: "sei [mm] q_{k} \in \IN \cup [/mm] {-1} bereits definiert."
Was bedeutet dies?
b) zu: "so ist wegen [mm] \summe_{l=0}^{\infty} a_{n_{l}^{+}} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] auch [mm] \summe_{l=q_{k}+1}^{\infty} a_{n_{l}^{+}} [/mm] = [mm] +\infty. [/mm] "
Kann ich mir dies so vorstellen, dass ich eine Aussage für die Divergenz ab l = 0 habe und durch [mm] q_{k} [/mm] + 1 beginne ich ja mindestens ab der Zahl 0, da das kleinste [mm] q_{k} [/mm] ja [mm] q_{0}:= [/mm] -1 ist und -1+1 = 0 wäre ? Und für die Divergenz ist es unerheblich, ab welcher natürlichen Zahl ich zu zählen beginne, also wieviele endliche Glieder ich am Anfang weglasse?
c) "und somit existiert ein [mm] q_{k+1} \in \IN [/mm] mit [mm] q_{k+1} [/mm] > [mm] q_{k} [/mm] und [mm] \summe_{l=q_{k}+1}^{q_{k+1}} a_{n_{l}^{+}} [/mm] > 2. "
Ab diesem letzten Schritt c) in 2 über die von mir markierte Definition 3 und den gesamten Rest ab 4 bis zum Schluss verstehe ich nur noch Bahnhof.
Möchte jemand versuchen, mir dies verständlich zu erklären?
Ich würd mich mega freuen und wär euch echt dankbar :)
Viele Grüße,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Mo 26.10.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Mo 26.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen,
da die Fälligkeit meiner Frage abgelaufen ist, stelle ich sie nun nochmals in der Hoffnung, dass jemand antwortet! :)
ich verstehe bei einem Beweis ab einer bestimmten Stelle nur Bahnhof und möchte euch um Hilfe bitten. Es geht um den Beweis, dass eine konvergente aber nicht absolut konvergente Reihe stets so umgeordnet werden kann, dass sie divergiert.
Beweis: Nun sei also [mm] \summe_{k=10}^{\infty} a_{n} [/mm] eine konvergente reelle Reihe die nicht absolut konvergent ist. Somit müssen dann sowohl unendlich viele positive als auch unendlich viele negative Summanden vorkommen. Damit können wir die Folge [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] in eine positive Teilfolge [mm] (a_{n_{k}^{+}})_{k\in\IN} [/mm] und eine negative Teilfolge [mm] (a_{n_{k}^{-}})_{k\in\IN} [/mm] einteilen, es soll also
[mm] \{ n_{k}^{+} | k\in\IN \} [/mm] = [mm] \{n\in\IN | a_{n} \ge 0 \} [/mm] und
[mm] \{ n_{k}^{-} | k\in\IN \} [/mm] = [mm] \{n\in\IN | a_{n} < 0 \}
[/mm]
gelten. Da [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}| [/mm] = [mm] \infty [/mm] ist, müssen
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{+}} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] und [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{-}} [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
gelten. Dies bedarf einer kleinen Begründung, nehme also einmal an, dass etwa der positive Teil [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{+}} [/mm] < [mm] \infty [/mm] ist. Wir betrachten dann durch
[mm] b_{n}^{+}:= \begin{cases} a_{n}, & a_{n} \ge 0 \\ 0, & a_{n} < 0 \end{cases}
[/mm]
für n [mm] \in\IN [/mm] definierte Folge. Die Partialsummen der Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n}^{+} [/mm] sind dann im wesentlichen dieselben wie diejenigen der Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{+}} [/mm] nur dass jedes Folgenglied eventuell endlich oft wiederholt wird. Also ist auch [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n}^{+} [/mm] konvergent. Damit ist aber auch
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}| [/mm] = 2 [mm] \summe_{n=0}^{\infty} b_{n}^{+} [/mm] - [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n}
[/mm]
konvergent, im Widerspruch dazu dass [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] als nicht absolut konvergent vorausgesetzt ist. Also ist [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{+}} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] und analog folgt auch [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{-}} [/mm] = [mm] -\infty. [/mm]
(( 1
Wegen [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n_{k}^{-}} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 0 gibt es ein p [mm] \in \IN [/mm] mit -1 < [mm] a_{n_{k}^{-}} [/mm] < 0 für alle k [mm] \in \IN [/mm] mit k > p
1 ))
(( 2
Setze [mm] q_{0} [/mm] := -1. Ist k [mm] \in \IN [/mm] und ist [mm] q_{k} \in \IN \cup [/mm] {-1} bereits definiert, so ist wegen [mm] \summe_{l=0}^{\infty} a_{n_{l}^{+}} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] auch [mm] \summe_{l=q_{k}+1}^{\infty} a_{n_{l}^{+}} [/mm] = [mm] +\infty, [/mm] und somit existiert ein [mm] q_{k+1} \in \IN [/mm] mit [mm] q_{k+1} [/mm] > [mm] q_{k} [/mm] und [mm] \summe_{l=q_{k}+1}^{q_{k+1}} a_{n_{l}^{+}} [/mm] > 2.
2 ))
(( 3
Weiter definieren wir die Zahlen
[mm] m_{k} [/mm] := p + 1 + [mm] \summe_{l=0}^{k-1} (q_{l+1} [/mm] - [mm] q_{l} [/mm] + 1) = k + [mm] q_{k} [/mm] + p + 2
für alle k [mm] \in \IN, [/mm] also p+1 = [mm] m_{0} [/mm] < [mm] m_{1} [/mm] < [mm] m_{2} [/mm] < [mm] m_{3} [/mm] ...
3 ))
(( 4
Definiere jetzt die Umordnung
[mm] \tau: \IN \to \IN; [/mm] l [mm] \mapsto \begin{cases} n_{l}^{-}, & 0 \le l \le p \\ n_{q_{k}+l-m_{k}+1}^{+}, & m_{k} \le l < m_{k+1} - 1 \mbox{ für ein k} \in \IN, \\ n_{p+k+1}^{-}, & l = m_{k+1} - 1 \mbox{ für ein k} \in \IN. \end{cases}
[/mm]
Setze M:= [mm] \summe_{k=0}^{p} a_{n_{k}^{-}}. [/mm] Für jedes k [mm] \in \IN [/mm] gelten
[mm] \summe_{l=m_{k}}^{m_{k+1}-2} a_{\tau(l)} [/mm] = [mm] \summe_{l=q_{k}+1}^{q_{k+1}} a_{n_{l}^{+}} [/mm] > 2 und [mm] \summe_{l=m_{k}}^{m_{k+1}-1} a_{\tau(l)} [/mm] = [mm] \summe_{l=m_{k}}^{m_{k+1}-2} a_{\tau(l)} [/mm] + [mm] a_{n_{p+k+1}^{-}} [/mm] > 1,
also ist für alle k [mm] \in \IN [/mm] und alle m [mm] \in \IN [/mm] mit m [mm] \ge m_{k+1} [/mm] auch
[mm] \summe_{l=0}^{m} a_{\tau(l)} \ge [/mm] M + k.
Dies zeigt [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{\tau(n)} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] und insbesondere ist die umgeordnete Reihe divergent.
4 ))
Ich habe nun ein paar Fragen:
Zu 1 Ist dies so, da die Folge [mm] (a_{n_{k}^{-}}) [/mm] aus nur negativen Gliedern besteht und eine Nullfolge ist und deshalb ab einem gewissen Index p ein Folgenglied > -1 ist aber dann für k > p alle weiteren Folgenglieder gegen 0 konvergieren?
Zu 2 habe ich die Fragen
a) wieso steht dort: "sei [mm] q_{k} \in \IN \cup [/mm] {-1} bereits definiert."
Was bedeutet dies?
b) zu: "so ist wegen [mm] \summe_{l=0}^{\infty} a_{n_{l}^{+}} [/mm] = [mm] +\infty [/mm] auch [mm] \summe_{l=q_{k}+1}^{\infty} a_{n_{l}^{+}} [/mm] = [mm] +\infty. [/mm] "
Kann ich mir dies so vorstellen, dass ich eine Aussage für die Divergenz ab l = 0 habe und durch [mm] q_{k} [/mm] + 1 beginne ich ja mindestens ab der Zahl 0, da das kleinste [mm] q_{k} [/mm] ja [mm] q_{0}:= [/mm] -1 ist und -1+1 = 0 wäre ? Und für die Divergenz ist es unerheblich, ab welcher natürlichen Zahl ich zu zählen beginne, also wieviele endliche Glieder ich am Anfang weglasse?
c) "und somit existiert ein [mm] q_{k+1} \in \IN [/mm] mit [mm] q_{k+1} [/mm] > [mm] q_{k} [/mm] und [mm] \summe_{l=q_{k}+1}^{q_{k+1}} a_{n_{l}^{+}} [/mm] > 2. "
Ab diesem letzten Schritt c) in 2 über die von mir markierte Definition 3 und den gesamten Rest ab 4 bis zum Schluss verstehe ich nur noch Bahnhof.
Möchte jemand versuchen, mir dies verständlich zu erklären?
Ich würd mich mega freuen und wär euch echt dankbar :)
Viele Grüße,
Christian
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Hallo Christian,
> da die Fälligkeit meiner Frage abgelaufen ist, stelle ich
> sie nun nochmals in der Hoffnung, dass jemand antwortet!
> :)
Informiere beim nächsten Mal bitte einen der Moderatoren; die können die Fälligkeit verlängern. Doppelposts "müllen" nur das Forum zu.
Danke, Gruß und ich drücke die Daumen, dass dir bald jemand antwortet 
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mo 26.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hi,
hab ja nur das gemacht, was Matux der Foren Agent gesagt hat, nämlich eine neue Frage in dieser Diskussion gestellt.
Ja das hoffe ich auch! :)
Gruß X3nion
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Hiho,
vorweg will ich dir die Idee des Beweises erklären. Die Idee ist eigentlich recht einfach und wenn man die verstanden hat ist es auch einfacher die mathematische Umsetzung der Idee zu verstehen.
Dazu mal deine erste Frage:
> Zu 1 Ist dies so, da die Folge $ [mm] (a_{n_{k}^{-}}) [/mm] $ aus nur negativen Gliedern besteht und eine Nullfolge ist und deshalb ab einem gewissen Index p ein Folgenglied > -1 ist aber dann für k > p alle weiteren Folgenglieder gegen 0 konvergieren?
es stimmt schon, aber die Art wie du die Frage stellst lässt vermuten, dass du es noch nicht ganz verstanden hast (insbesondere das "aber").
[mm] $(a_{n_{k}^{-}})$ [/mm] ist eine Folge negativer Zahlen, die gegen Null konvergiert. Aus der Definition der Konvergenz ergibt sich dann die Existenz eines [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] so dass $0 [mm] \ge (a_{n_{k}^{-}}) \ge [/mm] -1$ für [mm] $n_k \ge n_0$.
[/mm]
Wenn dir das nicht klar ist, schaue dir die Definition der Konvergenz nochmal an und wähle [mm] $\varepsilon=1$.
[/mm]
Fassen wir jetzt also mal zusammen:
Wir haben eine Reihe [mm] $\summe_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] und sowohl die Reihe der negativen Glieder als auch die Reihe der Positivglieder divergiert, d.h:
[mm] $\summe_{k=1}^\infty a_{n_k}^+ [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
[mm] $\summe_{k=1}^\infty a_{n_k}^- [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
Oder in Worten:
1.) Die Summe der [mm] $a_{n_k}^+$ [/mm] wächst über jede Grenze nach oben und
2.) die Summe der [mm] $a_{n_k}^-$ [/mm] fällt unter jede Grenze nach unten.
Jetzt wählen wir uns irgendeine relle Zahl M und machen folgendes:
Wir addieren so lange Zahlen von [mm] $a_{n_k}^+$ [/mm] bis wir M überschreiten. 1.) stellt sicher, dass das auch irgendwann passiert.
Nun sind wir also größer als M. Dann addieren wir solange Zahlen von [mm] $a_{n_k}^-$ [/mm] bis wir M wieder unterschreiten. 2.) stellt sicher, dass das auch passiert.
Die Tatsache dass [mm] $a_{n_k}^+$ [/mm] und [mm] $a_{n_k}^-$ [/mm] Nullfolgen sind stellt sicher, dass wir uns M immer weiter annähern.
Wenn du magst, können wir das mal an einem Beispiel machen 
Der Rest an dem Beweis ist eigentlich nur technisches Zeug, wichtig ist, dass man die Idee verstanden hat (wobei der Beweis zusätzlich noch unnötig kompliziert wirkt).
Gruß,
Gono
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Ich will mal auf deine Fragen eingehen, obwohl du schon eine Teilantwort erhalten hast (die erklärt allerdings, dass man die Folge durch Umordnen gegen jede beliebige Zahl M konvergieren lassen kann, aber nicht, dass man sie auch divergieren lassen kann, obwohl...)
> Hallo zusammen,
> da die Fälligkeit meiner Frage abgelaufen ist, stelle ich
> sie nun nochmals in der Hoffnung, dass jemand antwortet!
> :)
>
> ich verstehe bei einem Beweis ab einer bestimmten Stelle
> nur Bahnhof und möchte euch um Hilfe bitten. Es geht um
> den Beweis, dass eine konvergente aber nicht absolut
> konvergente Reihe stets so umgeordnet werden kann, dass sie
> divergiert.
>
> Beweis: Nun sei also [mm]\summe_{k=10}^{\infty} a_{n}[/mm] eine
> konvergente reelle Reihe die nicht absolut konvergent ist.
> Somit müssen dann sowohl unendlich viele positive als auch
> unendlich viele negative Summanden vorkommen. Damit können
> wir die Folge [mm](a_{n})_{n\in\IN}[/mm] in eine positive Teilfolge
> [mm](a_{n_{k}^{+}})_{k\in\IN}[/mm] und eine negative Teilfolge
> [mm](a_{n_{k}^{-}})_{k\in\IN}[/mm] einteilen, es soll also
>
> [mm]\{ n_{k}^{+} | k\in\IN \}[/mm] = [mm]\{n\in\IN | a_{n} \ge 0 \}[/mm] und
> [mm]\{ n_{k}^{-} | k\in\IN \}[/mm] = [mm]\{n\in\IN | a_{n} < 0 \}[/mm]
>
> gelten. Da [mm]\summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}|[/mm] = [mm]\infty[/mm] ist,
> müssen
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{+}}[/mm] = [mm]+\infty[/mm] und
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{-}}[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
>
> gelten. Dies bedarf einer kleinen Begründung, nehme also
> einmal an, dass etwa der positive Teil
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{+}}[/mm] < [mm]\infty[/mm] ist. Wir
> betrachten dann durch
>
> [mm]b_{n}^{+}:= \begin{cases} a_{n}, & a_{n} \ge 0 \\ 0, & a_{n} < 0 \end{cases}[/mm]
>
> für n [mm]\in\IN[/mm] definierte Folge. Die Partialsummen der Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}^{+}[/mm] sind dann im wesentlichen
> dieselben wie diejenigen der Reihe [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{+}}[/mm]
>nur dass jedes Folgenglied eventuell endlich oft wiederholt wird.
Unsinn: wenn Folgenglieder endlich oft wiederholt werden, kann es passieren, dass die Folge vorher konvergiert, dann aber gar nicht mehr konvergiert. Nur die 0 darf beliebig oft wiederholt werden. Beispiel: [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^2}=\bruch{1}{1}+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{16}+... [/mm] konvergiert, aber [mm] 1*\bruch{1}{1}+4*\bruch{1}{4}+9*\bruch{1}{9}+16*\bruch{1}{16}+...=1+1+1+... [/mm] divergiert, obwohl jedes Folgeglied nur endlich mal wiederholt wird.
Also ist auch [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}^{+}[/mm]
> konvergent. Damit ist aber auch
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} |a_{n}|[/mm] = 2 [mm]\summe_{n=0}^{\infty} b_{n}^{+}[/mm]
> - [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm]
>
> konvergent, im Widerspruch dazu dass [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm]
> als nicht absolut konvergent vorausgesetzt ist. Also ist
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{+}}[/mm] = [mm]+\infty[/mm] und analog
> folgt auch [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{n_{k}^{-}}[/mm] = [mm]-\infty.[/mm]
>
> (( 1
> Wegen [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n_{k}^{-}}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = 0 gibt es ein p [mm]\in \IN[/mm]
> mit -1 < [mm]a_{n_{k}^{-}}[/mm] < 0 für alle k [mm]\in \IN[/mm] mit k > p
> 1 ))
>
>
> (( 2
>
> Setze [mm]q_{0}[/mm] := -1. Ist k [mm]\in \IN[/mm] und ist [mm]q_{k} \in \IN \cup[/mm]
> {-1} bereits definiert, so ist wegen [mm]\summe_{l=0}^{\infty} a_{n_{l}^{+}}[/mm]
> = [mm]+\infty[/mm] auch [mm]\summe_{l=q_{k}+1}^{\infty} a_{n_{l}^{+}}[/mm] =
> [mm]+\infty,[/mm] und somit existiert ein [mm]q_{k+1} \in \IN[/mm] mit
> [mm]q_{k+1}[/mm] > [mm]q_{k}[/mm] und [mm]\summe_{l=q_{k}+1}^{q_{k+1}} a_{n_{l}^{+}}[/mm]
> > 2.
> 2 ))
>
> (( 3
>
> Weiter definieren wir die Zahlen
>
>
> [mm]m_{k}[/mm] := p + 1 + [mm]\summe_{l=0}^{k-1} (q_{l+1}[/mm] - [mm]q_{l}[/mm] + 1) =
> k + [mm]q_{k}[/mm] + p + 2
>
> für alle k [mm]\in \IN,[/mm] also p+1 = [mm]m_{0}[/mm] < [mm]m_{1}[/mm] < [mm]m_{2}[/mm] <
> [mm]m_{3}[/mm] ...
>
> 3 ))
>
> (( 4
> Definiere jetzt die Umordnung
>
>
> [mm]\tau: \IN \to \IN;[/mm] l [mm]\mapsto \begin{cases} n_{l}^{-}, & 0 \le l \le p \\ n_{q_{k}+l-m_{k}+1}^{+}, & m_{k} \le l < m_{k+1} - 1 \mbox{ für ein k} \in \IN, \\ n_{p+k+1}^{-}, & l = m_{k+1} - 1 \mbox{ für ein k} \in \IN. \end{cases}[/mm]
>
>
>
> Setze M:= [mm]\summe_{k=0}^{p} a_{n_{k}^{-}}.[/mm] Für jedes k [mm]\in \IN[/mm]
> gelten
>
> [mm]\summe_{l=m_{k}}^{m_{k+1}-2} a_{\tau(l)}[/mm] =
> [mm]\summe_{l=q_{k}+1}^{q_{k+1}} a_{n_{l}^{+}}[/mm] > 2 und
> [mm]\summe_{l=m_{k}}^{m_{k+1}-1} a_{\tau(l)}[/mm] =
> [mm]\summe_{l=m_{k}}^{m_{k+1}-2} a_{\tau(l)}[/mm] +
> [mm]a_{n_{p+k+1}^{-}}[/mm] > 1,
>
> also ist für alle k [mm]\in \IN[/mm] und alle m [mm]\in \IN[/mm] mit m [mm]\ge m_{k+1}[/mm]
> auch
>
> [mm]\summe_{l=0}^{m} a_{\tau(l)} \ge[/mm] M + k.
>
> Dies zeigt [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{\tau(n)}[/mm] = [mm]+\infty[/mm] und
> insbesondere ist die umgeordnete Reihe divergent.
>
> 4 ))
>
>
>
> Ich habe nun ein paar Fragen:
>
> Zu 1 Ist dies so, da die Folge [mm](a_{n_{k}^{-}})[/mm] aus nur
> negativen Gliedern besteht und eine Nullfolge ist und
> deshalb ab einem gewissen Index p ein Folgenglied > -1 ist
> aber dann für k > p alle weiteren Folgenglieder gegen 0
> konvergieren?
>
Ja.
Es ist eine Nullfolge, d.h., alle Glieder kommen im weiteren Verlauf beliebig nah an 0 heran. Sie dürfen zwar schwanken (müssen nicht monoton sein), aber du kannst eine Grenze vorgeben, und "ab irgendwann" sind alle folgenden Glieder näher an 0 als die Grenze. Hier haben wir nur negative Glieder, und ab irgendeinem p liegen alle weiteren Glieder zwischen -1 und 0.
> Zu 2 habe ich die Fragen
> a) wieso steht dort: "sei [mm]q_{k} \in \IN \cup[/mm] {-1} bereits
> definiert."
> Was bedeutet dies?
>
> b) zu: "so ist wegen [mm]\summe_{l=0}^{\infty} a_{n_{l}^{+}}[/mm] =
> [mm]+\infty[/mm] auch [mm]\summe_{l=q_{k}+1}^{\infty} a_{n_{l}^{+}}[/mm] =
> [mm]+\infty.[/mm] "
>
> Kann ich mir dies so vorstellen, dass ich eine Aussage für
> die Divergenz ab l = 0 habe und durch [mm]q_{k}[/mm] + 1 beginne ich
> ja mindestens ab der Zahl 0, da das kleinste [mm]q_{k}[/mm] ja
> [mm]q_{0}:=[/mm] -1 ist und -1+1 = 0 wäre ? Und für die Divergenz
> ist es unerheblich, ab welcher natürlichen Zahl ich zu
> zählen beginne, also wieviele endliche Glieder ich am
> Anfang weglasse?
>
>
> c) "und somit existiert ein [mm]q_{k+1} \in \IN[/mm] mit [mm]q_{k+1}[/mm] >
> [mm]q_{k}[/mm] und [mm]\summe_{l=q_{k}+1}^{q_{k+1}} a_{n_{l}^{+}}[/mm] > 2.
> "
Ja.
Das heißt nur folgendes:
Wenn du die Summe beginnst, findest du irgendeinen Index [mm] q_1, [/mm] bis zu dem die Summe mindestens den Wert 2 hat (weil du die Folge nicht konkret kennst, weißt du nicht, wie [mm] q_1 [/mm] heißt, sondern nur, dass es den Wert gibt). Weil die Reihe divergiert, muss der Rest immer noch unendlich sein. Wenn du die nächsten Glieder addierst, muss deshalb irgendwann deren Summe wieder >2 werden, und du hast [mm] q_2 [/mm] gefunden. Weil die Restsumme immer noch unendlich ergibt, geben die nächsten Summanden wieder irgendwann eine Summe >2, und du hast [mm] q_3 [/mm] gefunden usw. Das verkürzt man zu: "Sei [mm] q_k [/mm] bereits definiert (besser:) gefunden"...
Auf Deutsch: Du kannst die Summe fortlaufend in Teilsummen aufteilen, die jeweils immer mindestens den Wert 2 haben.
>
> Ab diesem letzten Schritt c) in 2 über die von mir
> markierte Definition 3 und den gesamten Rest ab 4 bis zum
> Schluss verstehe ich nur noch Bahnhof.
>
> Möchte jemand versuchen, mir dies verständlich zu
> erklären?
> Ich würd mich mega freuen und wär euch echt dankbar :)
Ja, aber ich erkläre dir das mal viel einfacher. Die umständliche Umindizierung ist wirklich undurchschaubar. Deswegen gehe ich hier etwas anders vor.
Ich betrachte mal nur die positiven Summanden und nenne sie "die [mm] a_i [/mm] " und dann nur die negativen und nenne sie "die [mm] b_i [/mm] ", wobei die Nummerierung in der selben Reihenfolge wie in der ursprünglichen Summe geschieht.
Ich gehe davon aus. dass dir klar geworden ist, dass die beiden Reihen divergieren müssen - wenn nicht, frag noch mal nach.
Wenn du nun die [mm] b_i [/mm] wieder wie in der ursprünglichen Reihenfolge zwischen die [mm] a_i [/mm] einfügst, ist die Reihe konvergent (das ist die Ausgangslage), und deshalb müssen beide Reihen auch jeweils eine Nullfolge bilden.
Nun gehst du aber wie folgt vor:
Zuerst mischt du die [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] wieder wie zuvor (also wie gerade beschrieben), bis beide Reihen nur noch Folgeglieder haben, die betragsmäßig sagen wir mal kleiner als 0,1 sind. Die Summe hat bis dahin schon irgendeinen endlichen Wert, der aber nicht weiter interessiert.
Ab jetzt nimmst du so viele weitere [mm] a_i, [/mm] bis ihr Wert mindestens 2 beträgt. Das passiert irgendwann auf jeden Fall, weil die Reihe der [mm] a_i [/mm] ja divergiert. Nun streust du die 10 nächsten [mm] b_i [/mm] ein, und deren Summe liegt nun zwischen 0 und -1 (sie waren ja betragsmäßig kleiner als 0,1). Diese Teilsumme aus den [mm] a_i [/mm] und [mm] b_i [/mm] gibt also mindestens den Wert 1. Jetzt kommen die nächsten [mm] a_i, [/mm] bis sie zusammen wieder mindestens 2 geben, dann wieder 10 [mm] b_i, [/mm] die betragsmäßig wieder maximal 1 ergeben, macht zusammen wieder mindestens 1 usw. Das wiederholst sich nun unendlich oft, du bringst alle [mm] a_i [/mm] und unendlich oft 10 [mm] b_i, [/mm] also auch alle [mm] b_i [/mm] unter und hast unendlich oft mindestens eine Zwischensumme von 1, also kommt unendlich heraus.
>
>
> Viele Grüße,
> Christian
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(Frage) überfällig | | Datum: | 21:07 Sa 31.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Guten Abend Gono und HJKweseleit und hallo liebe Community,
nun danke ich euch beiden erst einmal für eure ausführlichen Antworten!
Gono auf dein Angebot komme ich sehr gerne zurück, das an einem Beispiel zu machen. Allerdings hast du mir das Prinzip jener Umordnung erläutert, sodass eine konvergente Reihe gegen eine beliebige Reelle Zahl konvergiert. Dies interessiert mich auch sehr, ich möchte erst einmal die divergente Umordnung komplett verstehen, um diesen Thread nicht durcheinander zu bringen :)
Und Sie, HJKWeseleit, haben vollkommen recht: die Indizierung macht es wirklich nicht einfach, diesen Beweis zu verstehen. Vor allem durch Ihre Erklärung zu den [mm] q_{k}'s [/mm] und allgemein zum Prinzip hat es bei mir "Klick" gemacht.
Ich habe nun durch eure Hilfe und durch eigenes Grübeln den Beweis auch mit seiner komplizierten Indizierung nahezu komplett verstanden!! :)
Ich musste es an einem Beispiel sehen und habe die konvergente Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{n} [/mm] * [mm] \frac{10}{n+1} [/mm]
genommen.
Mir ist jeder Schritt einleuchtend geworden.
Den Schritt mit den [mm] q_{k} [/mm] habe ich ja nun verstanden.
Die Umordnung [mm] \tau [/mm] hier sieht ja grob so aus:
Der Laufindex l läuft von 0 ab bis einschließlich p, z.B. p=5. (0 [mm] \le [/mm] l [mm] \le [/mm] 5) und geht erst einmal alle negativen Glieder bis [mm] n_{k}^{-} \le [/mm] -1 durch, also [mm] n_{0}^{-}, n_{1}^{-} [/mm] ... [mm] n_{5}^{-} [/mm] durch.
Dann addiert man erst einmal so viele positive Glieder [mm] n_{k}^{+}, [/mm] bis man einen Wert >2 ha (von [mm] q_{0} [/mm] +1 bis [mm] q_{1}), [/mm] also zum Beispiel für [mm] q_{0} [/mm] = -1 und [mm] q_{1} [/mm] = 3 von 1-1 bis 3, folglich [mm] n_{0}^{+} [/mm] + [mm] n_{1}^{+} [/mm] + ... + [mm] n_{3}^{+}. [/mm] Nun subtrahiert man das Glied [mm] n_{6}^{-}, [/mm] dann addiert man wieder positive Glieder von [mm] q_{1} [/mm] +1 bis [mm] q_{2} [/mm] bis man einen Wert >2 erreicht hat, dann subtrahiert man das nächste negative Glied [mm] n_{7}^{-} [/mm] usw...
Nun zu meiner Frage:
Was ich nur nicht ganz verstanden habe ist der Schluss [mm] \summe_{l=0}^{m} a_{\tau(l)} \ge [/mm] M + k und M:= [mm] \summe_{k=0}^{p} a_{n_{k}^{-}} [/mm] für alle k [mm] \in \IN [/mm] und m [mm] \ge m_{k+1}.
[/mm]
Also M ist die Summe aller negativer Glieder, solange die einzelnen Glieder den Wert [mm] \le [/mm] -1 haben.
Es werden ja positive Glieder addiert bis zum Reihenwert > 2, dann wird ein negatives Glied subtrahiert welches auf jeden Fall den Wert > -1 und <0 hat da für alle Zahlen n > p die negativen Glieder in diesem Bereich sind. Die Summe dieser einzelnen Teilsummationen ist somit immer >1.
Aber wenn ich immer strikt Teilsummationen >1 vornehme, so kann doch der Fall nicht auftreten, dass [mm] \summe_{l=0}^{m} a_{\tau(l)} [/mm] = M + k [mm] \summe_{l=0}^{m} a_{\tau(l)} [/mm] > M + k, oder irre ich mich da?
Oder schreibt man dies einfach, damit man nichts zusätzlich beweisen muss, und sagt einfach die Summe der [mm] \tau's [/mm] ist größer oder gleich M + k?
Denn zum Beispiel betrachte ich den Fall k=0, also m [mm] \ge m_{1}. [/mm] Ich setze m = [mm] m_{1}, [/mm] also [mm] \summe_{l=0}^{m_{1}} a_{\tau(l)} \ge [/mm] M.
Dies macht mir natürlich Sinn, denn ich addiere zunächst alle negativen Glieder [mm] n_{0}^{-} [/mm] + [mm] n_{1}^{-} [/mm] + [mm] n_{p}^{-} [/mm] = M. Dann addiere ich nun darauf die positiven Glieder [mm] a_{\tau(m_{0})} [/mm] + [mm] a_{\tau(m_{1})} [/mm] + ... + [mm] a_{\tau(m_{1}-2)} [/mm] und ein negatives Glied [mm] a_{\tau(m_{1}-1)}, [/mm] so bin ich ja in Summe > 1. Nun addiere ich noch [mm] a_{\tau(m_{1})} [/mm] als positives Glied und bin in Summe eindeutig > 1. Somit wäre doch [mm] \summe_{l=0}^{m_{1}} a_{\tau(l)} [/mm] > M, also strikt größer M. Und dies für alle m > [mm] m_{1}.
[/mm]
Wie ist das nun?
Viele Grüße und Happy Halloween,
Christian
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 02.11.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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