Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:16 Fr 11.11.2011 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | | ich soll entscheiden, ob [mm] \bruch{n^n}{n!} [/mm] konvergiert für [mm] n\to \infty. [/mm] |
das tut es natürlich nicht.... aber wie beweis ich das? dass es streng monoton wächst hab ich, das hilft mir nur nichts. jetzt müsst ich nur irgwie zeigen, dass es nicht nach oben beschränkt ist. Aber wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ich soll entscheiden, ob [mm]\bruch{n^n}{n!}[/mm] konvergiert für
> [mm]n\to \infty.[/mm]
> das tut es natürlich nicht.... aber wie
> beweis ich das? dass es streng monoton wächst hab ich, das
> hilft mir nur nichts. jetzt müsst ich nur irgwie zeigen,
> dass es nicht nach oben beschränkt ist. Aber wie?
Zeige (z.B. mit Induktion):
[mm]\bruch{n^n}{n!} \ge n[/mm] für jedes n.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Fr 11.11.2011 | | Autor: | anabiene |
hab grad schwierigkeiten mit der induktion. kann ich nicht auch $ [mm] \bruch{n^n}{n!} \ge [/mm] 2 $ für jedes [mm] n\ge [/mm] 2 zeigen?
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Hallo anabiene,
> hab grad schwierigkeiten mit der induktion.
Dann schreibe auf, wie weit du kommst und wo genau deine Schwierigkeit(en) bei der Induktion liegt(liegen)
> kann ich nicht
> auch [mm]\bruch{n^n}{n!} \ge 2[/mm] für jedes [mm]n\ge[/mm] 2 zeigen?
Nein, du musst ja was kleineres finden, das für [mm] $n\to\infty$ [/mm] schon gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert ...
Dann divergiert deine größere Folge nämlich erst recht gegen [mm] $\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Fr 11.11.2011 | | Autor: | anabiene |
IA: n=1: [mm] \bruch{1^1}{1!}\ge [/mm] 1 [mm] \gdw [/mm] 1=1
IS: n=n+1: [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\ge [/mm] n+1 [mm] \gdw (n+1)^{n-1}\ge [/mm] n!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> IA: n=1: [mm]\bruch{1^1}{1!}\ge[/mm] 1 [mm]\gdw[/mm] 1=1
>
> IS: n=n+1: [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\ge[/mm] n+1 [mm]\gdw (n+1)^{n-1}\ge[/mm]
> n!
Wie kommst Du darauf ??
Ind. Vor.: Sei n [mm] \in \IN [/mm] und $ [mm] \bruch{n^{n}}{n!}\ge [/mm] $ n
I.S: $ [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}= \bruch{(n+1)^{n}}{n!}= \bruch{n^n}{n!}*\bruch{(n+1)^n}{n^n} \ge n*\bruch{(n+1)^n}{n^n}= n*(1+1/n)^n$
[/mm]
Jetzt zeigst Du mal, dass [mm] (1+1/n)^n \ge [/mm] 2 ist.
Dann folgt:
$ [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \ge [/mm] 2n [mm] \ge [/mm] n+1$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Fr 11.11.2011 | | Autor: | anabiene |
[mm] =...=\bruch{n^n}{n!}\cdot{}\bruch{(n+1)^n}{n^n} \ge n\cdot{}\bruch{(n+1)^n}{n^n}
[/mm]
wie kommst du auf die rechte seite des ungleichung?
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Hallo nochmal,
> [mm]=...=\bruch{n^n}{n!}\cdot{}\bruch{(n+1)^n}{n^n} \ge n\cdot{}\bruch{(n+1)^n}{n^n}[/mm]
>
> wie kommst du auf die rechte seite des ungleichung?
Nach Induktionsvoraussetzung gilt doch [mm]\frac{n^n}{n!}\ge n[/mm]
Das wurde benutzt, um den ersten Faktor abzuschätzen.
Das Prinzip der Induktion kennst du doch, oder?
Da wird doch (fast) immer im Induktionsschritt so umgeformt, dass man irgendwie die Induktionsvoraussetzung ins Spiel bringen kann ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Fr 11.11.2011 | | Autor: | anabiene |
ah ok ich hatt da was übersehen, jetzt hab ich das geblickt:
I.S: [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}= \bruch{(n+1)^{n}}{n!}= \bruch{n^n}{n!}\cdot{}\bruch{(n+1)^n}{n^n} \ge n\cdot{}\bruch{(n+1)^n}{n^n}= n\cdot{}(\bruch{n+1}{n})^n [/mm]
aber warum ich das machen soll versteh ich grad nit... :(
Jetzt zeigst Du mal, dass $ [mm] (1+1/n)^n \ge [/mm] $ 2 ist.
Dann folgt:
$ [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \ge [/mm] 2n [mm] \ge [/mm] n+1 $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ah ok ich hatt da was übersehen, jetzt hab ich das
> geblickt:
>
> I.S: [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}= \bruch{(n+1)^{n}}{n!}= \bruch{n^n}{n!}\cdot{}\bruch{(n+1)^n}{n^n} \ge n\cdot{}\bruch{(n+1)^n}{n^n}= n\cdot{}(\bruch{n+1}{n})^n[/mm]
>
> aber warum ich das machen soll versteh ich grad nit... :(
Meinst Du , warum Du [mm](1+1/n)^n \ge[/mm] 2 zeigen sollst ?
Das steht doch unten: .... Dann folgt.....
FRED
>
> Jetzt zeigst Du mal, dass [mm](1+1/n)^n \ge[/mm] 2 ist.
>
> Dann folgt:
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \ge 2n \ge n+1[/mm]
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Fr 11.11.2011 | | Autor: | anabiene |
ohje ich glaub ich steh auf dem schlauch :(
[mm] \bruch{n^n}{n!}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})^n \ge n\cdot{} (1+\bruch{1}{n})^n
[/mm]
kann ich den term [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] dann nicht einfach raus kürzen und dann steht die voraussetzung da, die stimmt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ohje ich glaub ich steh auf dem schlauch :(
>
> [mm]\bruch{n^n}{n!}\cdot{}(1+\bruch{1}{n})^n \ge n\cdot{} (1+\bruch{1}{n})^n[/mm]
>
> kann ich den term [mm](1+\bruch{1}{n})^n[/mm] dann nicht einfach
> raus kürzen
Nein !
> und dann steht die voraussetzung da, die
> stimmt?
nein !
Sagt Dir die Bernoullische Ungleichung etwas ? Lass die auf [mm] (1+1/n)^n [/mm] los
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Fr 11.11.2011 | | Autor: | anabiene |
ich hab jetz so viele verschiedene wege für eine induktion auf mein papier geschrieben, dass ich gar nit mehr weiß bei welcher ich die ungleichung von bernoulli anwenden soll....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Fr 11.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> ich hab jetz so viele verschiedene wege für eine induktion
> auf mein papier geschrieben, dass ich gar nit mehr weiß
> bei welcher ich die ungleichung von bernoulli anwenden
> soll....
Willst Du mich verarsc...n ?
Das hab ich Dir geschrieben:
"Sagt Dir die Bernoullische Ungleichung etwas ? Lass die auf $ [mm] (1+1/n)^n [/mm] $ los"
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:44 Fr 11.11.2011 | | Autor: | anabiene |
tut mir leid. find die bernoullische ungleichung niergends im skript. dann darf ich sie auch gar nicht verwenden sagt unser tutor...
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> Zeige (z.B. mit Induktion):
>
> [mm]\bruch{n^n}{n!} \ge n[/mm] für jedes n.
Nur nochmal eine Frage/Anmerkung dazu. Muss das n auf der rechten Seite nicht anders heißen, also $N, n', m, [mm] \epsilon$ [/mm] oder von mir aus auch $Friedrich$?
So wäre die Schranke jedenfalls abhängig vom Funktionsargument und würde man damit nicht etwas anderes zeigen? Bin mir allerdings auch gerade nicht sicher was...
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Hallo Infostudent,
> > Zeige (z.B. mit Induktion):
> >
> > [mm]\bruch{n^n}{n!} \ge n[/mm] für jedes n.
>
> Nur nochmal eine Frage/Anmerkung dazu. Muss das n auf der
> rechten Seite nicht anders heißen, also [mm]N, n', m, \epsilon[/mm]
> oder von mir aus auch [mm]Friedrich[/mm]?
> So wäre die Schranke jedenfalls abhängig vom
> Funktionsargument und würde man damit nicht etwas anderes
> zeigen? Bin mir allerdings auch gerade nicht sicher was...
Nein, das n auf der rechten Seite muss nicht anders heißen.
Gruss
MathePower
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> Nein, das n auf der rechten Seite muss nicht anders
> heißen.
Aber warum nicht? Man möchte doch hier zeigen, dass die Folge ins Unendliche wächst, man also eine beliebige aber feste Schranke [mm] $\epsilon$ [/mm] und ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] wählen kann, sodass die Folge für alle $n > N$ oberhalb [mm] $\epsilon$ [/mm] liegt.
Wenn man [mm] $\epsilon$ [/mm] nun gleich $n$ setzt, zeigt man dies zwar auch, aber mich würde die zusätzliche Abhängigkeit zum Funktionsargument nur verwirren und wieso das zwingend sein soll, sehe ich erst recht nicht ;)
Bitte um Aufklärung.
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Hallo Infostudent,
> > Nein, das n auf der rechten Seite muss nicht anders
> > heißen.
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> Aber warum nicht? Man möchte doch hier zeigen, dass die
> Folge ins Unendliche wächst, man also eine beliebige aber
> feste Schranke [mm]\epsilon[/mm] und ein [mm]N \in \IN[/mm] wählen kann,
> sodass die Folge für alle [mm]n > N[/mm] oberhalb [mm]\epsilon[/mm] liegt.
> Wenn man [mm]\epsilon[/mm] nun gleich [mm]n[/mm] setzt, zeigt man dies zwar
> auch, aber mich würde die zusätzliche Abhängigkeit zum
> Funktionsargument nur verwirren und wieso das zwingend sein
> soll, sehe ich erst recht nicht ;)
> Bitte um Aufklärung.
Die vergleichende Folge ist [mm]b_{n}=n[/mm]
Die gegebene Folge ist [mm]a_{n}=\bruch{n^{n}}{n!}[/mm]
Die Folge [mm]b_{n}=n[/mm] wächst streng monoton,
ist aber nicht nach oben beschränkt.
Wenn Du gezeigt hast, daß [mm]a_{n} > b_{n}[/mm],
dann kannst Du folgern, daß auch die Folge [mm]a_{n}[/mm]
bis ins Unendliche wächst.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Fr 11.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> ich soll entscheiden, ob [mm]\bruch{n^n}{n!}[/mm] konvergiert für
> [mm]n\to \infty.[/mm]
> das tut es natürlich nicht.... aber wie
> beweis ich das? dass es streng monoton wächst hab ich, das
> hilft mir nur nichts. jetzt müsst ich nur irgwie zeigen,
> dass es nicht nach oben beschränkt ist. Aber wie?
Schreib dir den Bruch doch einfach aus:
[mm] \frac{n*n*...*n}{1*2*...*n}
[/mm]
Daran solltest du schon erkennen, dass [mm] a_n\ge [/mm] n gilt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 Fr 11.11.2011 | | Autor: | donquijote |
[mm] \frac{n^n}{n!}=\frac{\prod_{i=1}^nn}{\prod_{i=1}^ni}=\prod_{i=1}^n\frac{n}{i}=n*\prod_{i=2}^n\frac{n}{i}\ge [/mm] n,
da alle Faktoren des Produktes [mm] \ge [/mm] 1 sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:33 Fr 11.11.2011 | | Autor: | anabiene |
cool das hatt ich auch :)
ich wusste nur nicht ob das als lupenreiner beweis zählt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:40 Fr 11.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> cool das hatt ich auch :)
> ich wusste nur nicht ob das als lupenreiner beweis zählt
Ich seh da jedenfalls kein Problem. Alle Schritte sind nachvollziehbar und am Ende kommt das gewünschte raus.
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