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Forum "Folgen und Reihen" - Divergenz/Konvergenz Reihen
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Divergenz/Konvergenz Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Sa 25.08.2012
Autor: quasimo

Aufgabe
[mm] 1)\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{13n-200} [/mm]
Konvergiert oder divergiert die Reihe?

2) [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\wurzel{n+3}}-\frac{1}{\wurzel{n}} [/mm]
Bestimme eine konvergente Majorante.

1) Im Skriptum steht dazu:
[mm] \frac{1}{13n-200} [/mm] > [mm] \frac{1}{13n} [/mm] = 1/13 * 1/n
-> divergente Minorante.

Nun verstehe ich aber die abschätzung:   [mm] \frac{1}{13n-200} [/mm] > [mm] \frac{ 1}{13n} [/mm]
nicht.

2) Der Tutor rechnete vor:

-( [mm] \frac{1}{\wurzel{n+3}}-\frac{1}{\wurzel{n}}) [/mm] = [mm] \frac{\wurzel{n+3} - \wurzel{n}}{\wurzel{n*(n+3)}} [/mm] = [mm] \frac{3}{\wurzel{n*(n+3)} * (\wurzel{n+3}+\wurzel{n})} [/mm] < [mm] \frac{3}{2n^{\frac{3}{2}}} [/mm] = 3/2 * [mm] \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} [/mm]
Hier verstehe ich die Abschätzung:  [mm] \frac{3}{\wurzel{n*(n+3)} * (\wurzel{n+3}+\wurzel{n})} [/mm] < [mm] \frac{3}{2n^{\frac{3}{2}}} [/mm]
nicht.

LG,
quasimo

        
Bezug
Divergenz/Konvergenz Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Sa 25.08.2012
Autor: Valerie20

Hi!

> [mm]1)\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{13n-200}[/mm]
>  Konvergiert oder
> divergiert die Reihe?
>  
> 2) [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\wurzel{n+3}}-\frac{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>  
> Bestimme eine konvergente Majorante.
>  1) Im Skriptum steht dazu:
>  [mm]\frac{1}{13n-200}[/mm] > [mm]\frac{1}{13n}[/mm] = 1/13 * 1/n

>  -> divergente Minorante.

>  
> Nun verstehe ich aber die abschätzung:   [mm]\frac{1}{13n-200}[/mm]
> > [mm]\frac{ 1}{13n}[/mm]
> nicht.

Setze doch einfach mal Zahlen für n ein.

[mm]n=100:[/mm]

[mm]\frac{1}{13\cdot 100-200}=\frac{1}{1300-200}=\frac{1}{1100}>\frac{1}{13n}=\frac{1}{1300}[/mm]

Wenn du den Nenner durch eine Minusoperation immer wieder kleiner  machst

ergibt sich daraus, dass derselbe Term ohne diese Minusoperation

im Nenner immer kleiner ist als der mit der Minusoperation.

Würde dort p.ex. ein Plus Zeichen stehen, so könntest du diese

Abschätzung nicht machen. Versuche es einfach einmal.




> 2) Der Tutor rechnete vor:
>  
> -( [mm]\frac{1}{\wurzel{n+3}}-\frac{1}{\wurzel{n}})[/mm] =
> [mm]\frac{\wurzel{n+3} - \wurzel{n}}{\wurzel{n*(n+3)}}[/mm] =
> [mm]\frac{3}{\wurzel{n*(n+3)} * (\wurzel{n+3}+\wurzel{n})}[/mm] <
> [mm]\frac{3}{2n^{\frac{3}{2}}}[/mm] = 3/2 *
> [mm]\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/mm]
>  Hier verstehe ich die Abschätzung:  
> [mm]\frac{3}{\wurzel{n*(n+3)} * (\wurzel{n+3}+\wurzel{n})}[/mm] <
> [mm]\frac{3}{2n^{\frac{3}{2}}}[/mm]
>  nicht.

Wenn du den Nenner ausmultiplizieren würdest, so hättest du einen

Nennerterm der Form:

[mm]\frac{Zaehler}{\sqrt{n^3+\dots\dots}+\sqrt{n^3+\dots\dots}}[/mm]

Wobei das nun immer kleiner ist als [mm]\frac{Zaehler}{\sqrt{n^3}+\sqrt{n^3}}=\frac{Zaehler}{2\cdot\sqrt{n^3}}=\frac{Zaehler}{2\cdot n^{\frac{3}{2}}}[/mm]

Insgesamt gilt also:

[mm]\frac{Zaehler}{\sqrt{n^3+\dots\dots}+\sqrt{n^3+\dots\dots}}<\frac{Zaehler}{\sqrt{n^3}+\sqrt{n^3}}=\frac{Zaehler}{2\cdot\sqrt{n^3}}=\frac{Zaehler}{2\cdot n^{\frac{3}{2}}}[/mm]


Valerie









Bezug
                
Bezug
Divergenz/Konvergenz Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:04 Sa 25.08.2012
Autor: quasimo

danke ;)
LG

Bezug
        
Bezug
Divergenz/Konvergenz Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:05 Sa 25.08.2012
Autor: Richie1401

Hallo,

> [mm]1)\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{13n-200}[/mm]
>  Konvergiert oder
> divergiert die Reihe?
>  
> 2) [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\wurzel{n+3}}-\frac{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>  
> Bestimme eine konvergente Majorante.
>  1) Im Skriptum steht dazu:
>  [mm]\frac{1}{13n-200}[/mm] > [mm]\frac{1}{13n}[/mm] = 1/13 * 1/n

>  -> divergente Minorante.

>  
> Nun verstehe ich aber die abschätzung:   [mm]\frac{1}{13n-200}[/mm]
> > [mm]\frac{ 1}{13n}[/mm]
> nicht.

Du kannst die Abschätzung auch direkt durch lösen der Ungleichung einsehen.
Ein Regel aus der Sekundarstufe I: "Ein Bruch wird größer indem der Zähler größer wird und/oder der Nenner kleiner."

>  
> 2) Der Tutor rechnete vor:
>  
> -( [mm]\frac{1}{\wurzel{n+3}}-\frac{1}{\wurzel{n}})[/mm] =
> [mm]\frac{\wurzel{n+3} - \wurzel{n}}{\wurzel{n*(n+3)}}[/mm] =
> [mm]\frac{3}{\wurzel{n*(n+3)} * (\wurzel{n+3}+\wurzel{n})}[/mm] <
> [mm]\frac{3}{2n^{\frac{3}{2}}}[/mm] = 3/2 *
> [mm]\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}[/mm]
>  Hier verstehe ich die Abschätzung:  
> [mm]\frac{3}{\wurzel{n*(n+3)} * (\wurzel{n+3}+\wurzel{n})}[/mm] <
> [mm]\frac{3}{2n^{\frac{3}{2}}}[/mm]
>  nicht.
>  
> LG,
>  quasimo


Bezug
        
Bezug
Divergenz/Konvergenz Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Sa 25.08.2012
Autor: Helbig

Hallo quasimo,

>  
> Nun verstehe ich aber die abschätzung:   [mm]\frac{1}{13n-200}[/mm]  > [mm]\frac{ 1}{13n}[/mm]
> nicht.

Gut. Sie gilt nämlich nicht für kleine $n$, denn für $n = 1, 2, 4, [mm] \ldots [/mm] 15 $ steht links was Negatives und rechts was Positives. Für $n > 15$ stimmt sie allerdings, denn dann ist $13n-200> 0$ und die Ungleichung folgt aus der strengen Monotonie der Multiplikation mit positiven Zahlen:

$0>-200 [mm] \gdw [/mm] 13n > 13n - 200 [mm] \gdw \frac [/mm] 1 {13n-200} > [mm] \frac [/mm] 1 {13 n}$.

Dennoch bricht die Argumentation nicht zusammen, da für Konvergenzbetrachtungen ja nur die großen Glieder eine Rolle spielen.

Gruß,
Wolfgang

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