Divergenz Zylinderkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Di 28.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Divergenz bzw. Nable in Zylinderkoordinaten. Mir ist nicht klar wie ein Term in der Herleitung zustande kommt bzw. mir ist noch nicht ganz klar wie man das überhaupt macht.
x = [mm] p*cos(\alpha) [/mm] , y = [mm] p*sin(\alpha), [/mm] z = z
Nabla [mm] v(p,\alpha,z) [/mm] = [mm] \bruch{\partial v}{\partial p}*\overrightarrow{e_{p}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{p}*\bruch{\partial v}{\partial \alpha}*\overrightarrow{e_{\alpha}} [/mm] + [mm] \bruch{\partial v}{\partial z}*\overrightarrow{e_{z}}
[/mm]
Wie man das herleitet ist mir ebenfalls nicht klar. Sinn macht es aber da dV = [mm] p*dp*d\alpha*dz [/mm] ist und man einfach dieses [mm] d\alpha [/mm] mit [mm] \bruch{1}{p} [/mm] skaliert.
Aber jetzt:
Div [mm] \overrightarrow{A} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p}*\bruch{\partial (p*A_{p})}{\partial p} [/mm] + [mm] \bruch{1}{p}*\bruch{\partial A_{\alpha}}{\partial \alpha} [/mm] + [mm] \bruch{\partial A_{z}}{\partial z}
[/mm]
Einen Tipp, bitte.
Hier ein Link: ![[]](/images/popup.gif) Nabla und Divergenz in Kugel und Zylinderkoordinaten
Gruss
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Hallo qsxqsx,
> Hallo,
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> Divergenz bzw. Nable in Zylinderkoordinaten. Mir ist nicht
> klar wie ein Term in der Herleitung zustande kommt bzw. mir
> ist noch nicht ganz klar wie man das überhaupt macht.
>
> x = [mm]p*cos(\alpha)[/mm] , y = [mm]p*sin(\alpha),[/mm] z = z
Ich benenne die Parametertransformation um:
[mm]x =p*cos(\alpha) , \ y = p*sin(\alpha), \ z = \blue{\xi}[/mm]
Betrachte nun die Gleichung
[mm]v\left(p,\alpha, \xi\right)=v\left( \ x\left(p,\alpha), \ y\left(p,\alpha), \ z\left(\xi\right)\right)[/mm]
Wird diese Gleichung nach [mm]p, \ \alpha, \ \xi[/mm] differenziert, so steht da:
[mm]\pmat{v_{p} \\ v_{\alpha} \\ v_{\xi}}=J*\pmat{v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z}}[/mm]
,wobei J die Jacobimatrix der Parametertransformation ist.
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> Nabla [mm]v(p,\alpha,z)[/mm] = [mm]\bruch{\partial v}{\partial p}*\overrightarrow{e_{p}}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{p}*\bruch{\partial v}{\partial \alpha}*\overrightarrow{e_{\alpha}}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial v}{\partial z}*\overrightarrow{e_{z}}[/mm]
>
> Wie man das herleitet ist mir ebenfalls nicht klar. Sinn
> macht es aber da dV = [mm]p*dp*d\alpha*dz[/mm] ist und man einfach
> dieses [mm]d\alpha[/mm] mit [mm]\bruch{1}{p}[/mm] skaliert.
Der Vorfaktor "p" ist die Determinante der Jacobimatrix.
>
> Aber jetzt:
>
> Div [mm]\overrightarrow{A}[/mm] = [mm]\bruch{1}{p}*\bruch{\partial (p*A_{p})}{\partial p}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{p}*\bruch{\partial A_{\alpha}}{\partial \alpha}[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial A_{z}}{\partial z}[/mm]
>
> Einen Tipp, bitte.
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> Hier ein Link:
> Nabla und Divergenz in Kugel und Zylinderkoordinaten
>
> Gruss
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Mi 29.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi MathePower,
Ich hätte sagen sollen (und aufschreiben inkl vorrechnen) dass mir diese Schreibweise und Methode [mm] \overrightarrow{v}(p,\alpha,\xi) [/mm] = [mm] \overrightarrow{v}(p(x,y,z),\alpha(x,y,z),\xi(x,y,z)) [/mm] bekannt ist. Trotzdem komm ich nicht auf das gesuchte. Ich mache nun einen Teil der Divergenz nämlich [mm] \bruch{\partial v_{1}}{\partial x}.
[/mm]
[mm] \bruch{\partial v}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{\partial v(p(x,y,z),\alpha(x,y,z),\xi(x,y,z))_{1}}{\partial x} [/mm] = [mm] v_{p}*p_{x} [/mm] + [mm] v_{\alpha}*\alpha_{x} [/mm] + [mm] v_{\xi}*\xi_{x}
[/mm]
p = [mm] \wurzel{x^{2} + y^{2}}
[/mm]
[mm] p_{x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}
} [/mm] = [mm] \bruch{cos(\alpha)*r}{r} [/mm] = [mm] cos(\alpha)
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] = [mm] arctan(\bruch{y}{x})
[/mm]
[mm] \alpha_{x} [/mm] = [mm] \bruch{-y}{x^{2} + y^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{-sin(\alpha)}{r}
[/mm]
[mm] \xi_{x} [/mm] = 0
Also folgt für den Ersten Term der Divergenz
[mm] \bruch{\partial v}{\partial x} [/mm] = [mm] v_{p}*cos(\alpha) [/mm] + [mm] v_{\alpha}*\bruch{-sin(\alpha)}{r}
[/mm]
Stimmt das?
EDIT: Die Ableitungen nach den jeweiligen Variablen hab ich mit einem Index geschrieben - für die Übersicht.
Gruss
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Hallo qsxqsx,
> Hi MathePower,
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> Ich hätte sagen sollen (und aufschreiben inkl vorrechnen)
> dass mir diese Schreibweise und Methode
> [mm]\overrightarrow{v}(p,\alpha,\xi)[/mm] =
> [mm]\overrightarrow{v}(p(x,y,z),\alpha(x,y,z),\xi(x,y,z))[/mm]
> bekannt ist. Trotzdem komm ich nicht auf das gesuchte. Ich
> mache nun einen Teil der Divergenz nämlich [mm]\bruch{\partial v_{1}}{\partial x}.[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial v}{\partial x}[/mm] = [mm]\bruch{\partial v(p(x,y,z),\alpha(x,y,z),\xi(x,y,z))_{1}}{\partial x}[/mm]
> = [mm]v_{p}*p_{x}[/mm] + [mm]v_{\alpha}*\alpha_{x}[/mm] + [mm]v_{\xi}*\xi_{x}[/mm]
>
> p = [mm]\wurzel{x^{2} + y^{2}}[/mm]
> [mm]p_{x}[/mm] = [mm]\bruch{x}{\wurzel{x^{2} + y^{2}}
}[/mm]
> = [mm]\bruch{cos(\alpha)*r}{r}[/mm] = [mm]cos(\alpha)[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] = [mm]arctan(\bruch{y}{x})[/mm]
> [mm]\alpha_{x}[/mm] = [mm]\bruch{-y}{x^{2} + y^{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{-sin(\alpha)}{r}[/mm]
>
> [mm]\xi_{x}[/mm] = 0
>
> Also folgt für den Ersten Term der Divergenz
> [mm]\bruch{\partial v}{\partial x}[/mm] = [mm]v_{p}*cos(\alpha)[/mm] +
> [mm]v_{\alpha}*\bruch{-sin(\alpha)}{r}[/mm]
Hier muss doch stehen:
[mm]\bruch{\partial v_{\blue{1}}}{\partial x} = {v_{\blue{1}}}_{p}*cos(\alpha) + {v_{\blue{1}}}_{\alpha}*\bruch{-sin(\alpha)}{r}[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja.
Die Frage ist doch, was [mm]v_{1}[/mm] ist.
Siehe dazu Ableitungen kartesischer Koordinaten nach Zylinderkoordinaten
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> EDIT: Die Ableitungen nach den jeweiligen Variablen hab ich
> mit einem Index geschrieben - für die Übersicht.
>
> Gruss
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Mi 29.12.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ist nicht so trivial zu sehen dass [mm] A_{x}= cos(\alpha)*A_{p} [/mm] - [mm] sin(\alpha)*A_{\alpha} [/mm] weil man würde ja denken [mm] A_{x}= cos(\alpha)*A_{p} [/mm] aber jetzt ist klar. Danke dir.
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