Divergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Stimmt es, dass die Reihe für [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{\sqrt{n+1}} [/mm] |x|>1 divergiert? |
Hallo,
also ich sollte die Reihe ursprünglich auf Konvergenz untersuchen und jetzt hänge ich bei [mm] |x|>1\mbox{ fest}. [/mm] Meiner Meinung nach müsste sie da divergieren. Ich konnte es aber noch nicht ausreichend begründen. Wenn man [mm] betrachtet:|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=|\frac{x\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}|, [/mm] dann müsste das ja ab irgendeinem Index N für alle [mm] n\geq [/mm] N größer gleich eins sein.
Aber das kann ich so nicht sehen. Ist die Aussage allgemein schon falsch? Was ist dann mit der Reihe los für |x|>1? Ab |x|>2 wird sie sicherlich divergieren, weill wir dann gar keine Nullfolge mehr haben, die in der Reihe steht.
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Hallo T_sleeper,
> Stimmt es, dass die Reihe für
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{\sqrt{n+1}}[/mm] |x|>1
> divergiert?
> Hallo,
>
> also ich sollte die Reihe ursprünglich auf Konvergenz
> untersuchen und jetzt hänge ich bei [mm]|x|>1\mbox{ fest}.[/mm]
> Meiner Meinung nach müsste sie da divergieren. Ich konnte
> es aber noch nicht ausreichend begründen. Wenn man
> [mm]betrachtet:|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=|\frac{x\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}|,[/mm]
> dann müsste das ja ab irgendeinem Index N für alle [mm]n\geq[/mm]
> N größer gleich eins sein.
Die obige Reihe konvergiert nach dem Quotientenkriterium für
[mm]\vmat{x} < \limes_{n \to \infty}|\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}|[/mm]
Daraus erkennst Du, daß die Reihe für
[mm]\vmat{x} > \limes_{n \to \infty}|\frac{\sqrt{n+2}}{\sqrt{n+1}}|[/mm]
divergiert.
>
> Aber das kann ich so nicht sehen. Ist die Aussage allgemein
> schon falsch? Was ist dann mit der Reihe los für |x|>1? Ab
> |x|>2 wird sie sicherlich divergieren, weill wir dann gar
> keine Nullfolge mehr haben, die in der Reihe steht.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:39 Di 21.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Stimmt es, dass die Reihe für
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{\sqrt{n+1}}[/mm] |x|>1
> divergiert?
> Hallo,
>
> also ich sollte die Reihe ursprünglich auf Konvergenz
> untersuchen und jetzt hänge ich bei [mm]|x|>1\mbox{ fest}.[/mm]
> Meiner Meinung nach müsste sie da divergieren. Ich konnte
> es aber noch nicht ausreichend begründen. Wenn man
> [mm]betrachtet:|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=|\frac{x\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}|,[/mm]
> dann müsste das ja ab irgendeinem Index N für alle [mm]n\geq[/mm]
> N größer gleich eins sein.
>
> Aber das kann ich so nicht sehen. Ist die Aussage allgemein
> schon falsch? Was ist dann mit der Reihe los für |x|>1? Ab
> |x|>2 wird sie sicherlich divergieren, weill wir dann gar
> keine Nullfolge mehr haben, die in der Reihe steht.
Ergänzend:
die Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{\sqrt{n+1}}[/mm] ist auch in x=1 divergent (warum ?)
Im Punkt x=-1 ist die Reihe konvergent (warum ?)
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Sa 25.12.2010 | | Autor: | Zuggel |
Ich hoffe, ich darf versuchen das zu beantworten!
> die Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{\sqrt{n+1}}[/mm] ist
> auch in x=1 divergent (warum ?)
Stichwort: Harmonische Reihe?
>
> Im Punkt x=-1 ist die Reihe konvergent (warum ?)
Stichwort: Leibniz Kriterium?
Danke
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Sa 25.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ich hoffe, ich darf versuchen das zu beantworten!
ja, das darfst du :)
> > die Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{\sqrt{n+1}}[/mm] ist
> > auch in x=1 divergent (warum ?)
>
> Stichwort: Harmonische Reihe?
...zusammen mit dem Minorantenkriterium, ja.
> >
> > Im Punkt x=-1 ist die Reihe konvergent (warum ?)
>
> Stichwort: Leibniz Kriterium?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Sa 25.12.2010 | | Autor: | Zuggel |
> >
> > Stichwort: Harmonische Reihe?
>
> ...zusammen mit dem Minorantenkriterium, ja.
>
Entschuldige bitte, ich studiere auf ital. und mir sind die Fachausdrücke auf dt nicht alle geläufig. Was ist denn dieses Minorantenkriterium genau? Ich vermute einmal, dass ich es bereits anwende, sonst wäre ich wohl nicht auf die Lösung gekommen 
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Huhu,
das Minorantenkriterium wirst du, wie schon vermutet, vermutlich bereits anwenden.
Da du die Reihe nach unten durch eine kleinere Reihe abschätzt, die trotzdem divergiert, weißt du ja, dass deine Reihe auch divergiert.
Diese kleinere Reihe heisst dann "Minorante".
Umgekehrt, also wenn du eine grössere Reihe finden würdest, die konvergiert, wäre es eine "Majorante".
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Mo 27.12.2010 | | Autor: | Zuggel |
Perfekt, Danke :)!
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