Divergenz und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:16 So 16.11.2008 | | Autor: | T_sleeper |
| Aufgabe 1 | Beweisen Sie das Minorantenkriterium:
Sei [mm] (\overset{N}{\underset{n=1}{\sum}}b_{k})_{N\in\mathbb{N}} [/mm] divergent und [mm] 0\leq b_{k}\leq a_{k},\forall n\in\mathbb{N} [/mm]. Zeigen Sie, dass [mm] (\overset{N}{\underset{n=1}{\sum}}a_{k})_{N\in\mathbb{N}} [/mm] ebenfalls divergiert. |
| Aufgabe 2 | Prüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
(a) [mm] \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}\frac{n^{4}}{3^{n}} [/mm]
(b) [mm] \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}\frac{n+4}{n^{2}-3n+1} [/mm] |
Hallo,
also zu Aufgabe 1. Ich möchte unbedingt mal den korrekt aufgeschriebenen Beweis für das Minorantenkriterium sehen. Habe dazu bisher noch keinerlei Literatur gefunden. Vielleicht kann mir da jemand helfen.
Und schließlich zu Aufg. 2.
Für Teil (a) habe ich rausbekommen, dass die Reihe konvergent ist. Mit dem Quotientenkriterium folgt: [mm] \overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}\frac{n^{4}}{3^{n}}=\frac{(n+1)^{4}}{3^{n+1}}/\frac{n^{4}}{3^{n}}=\frac{1}{3}\cdot(\frac{n+1}{n})^{4}\leq\frac{1}{3}(\frac{4+1}{4})^{4}=\frac{625}{768}=:\theta<1\forall n\geq4=:n_{0} [/mm]. Ist das so korrekt?
Für Teil (b) habe ich noch keine Idee. Nur so viel: Ich darf nur Quotientenkriterium, Majoranten-, oder Minorantenkriterium benutzen.
Wäre nett, wenn mir jemand Tipps geben könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo t_sleeper,
> Und schließlich zu Aufg. 2.
> Für Teil (a) habe ich rausbekommen, dass die Reihe
> konvergent ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Mit dem Quotientenkriterium folgt:
> [mm]\overset{\infty}{\underset{n=0}{\sum}}\frac{n^{4}}{3^{n}}=\frac{(n+1)^{4}}{3^{n+1}}/\frac{n^{4}}{3^{n}}=\frac{1}{3}\cdot(\frac{n+1}{n})^{4}\leq\frac{1}{3}(\frac{4+1}{4})^{4}=\frac{625}{768}=:\theta<1\forall n\geq4=:n_{0} [/mm].
> Ist das so korrekt?
Hmm, ich kenne es so, dass du den [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ [/mm] berechnest
Da bist du mit deinen Umformungen bis ... hier
[mm] $\frac{1}{3}\cdot(\frac{n+1}{n})^{4}$ [/mm] richtig, nun den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$, [/mm] das liefert den GW [mm] $\frac{1}{3}\cdot{}1=\frac{1}{3} [/mm] \ < \ 1$
Also (absolute) Konvergenz der Reihe
>
> Für Teil (b) habe ich noch keine Idee. Nur so viel: Ich
> darf nur Quotientenkriterium, Majoranten-, oder
> Minorantenkriterium benutzen.
Die Reihe hat ja in etwa die Größenordnung [mm] $\sum\frac{1}{n}$, [/mm] wenn man mal nur die absoluten Grade von Zähler und Nenner nimmt
Daher liegt es nahe, zu vermuten, dass das Biest divergiert und zu versuchen, die Reihe mit dem Majoranten-/Minorantenkriterium nach unten gegen eine (Variante der) harmonische(n) Reihe als divergenter Minorante abzuschätzen
Erlaubt sind Vekleinern des Zählers und Vergrößern des Nenners ...
>
> Wäre nett, wenn mir jemand Tipps geben könnte.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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Okay das hatte ich mir auch schon so gedacht. ich habe jetzt nur das Problem, dass die Summe bei n=0 beginnt, d.h. ich kann keine minorante bilden, die für 1/n bei n=0 beginnt.
Wie wären denn die ersten Umformungsschritte von (b)?
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Hallo nochmal,
sorry, aber ich bekam mitten im Anwortversuch nen Anruf ...
> Okay das hatte ich mir auch schon so gedacht. ich habe
> jetzt nur das Problem, dass die Summe bei n=0 beginnt, d.h.
> ich kann keine minorante bilden, die für 1/n bei n=0
> beginnt.
Naja, das ist doch Latte, du kannst doch immer endlich viele Summanden der Reihe wegnehmen, das ändert am Konvergenz- oder Divergenzverhalten nix, denn eine endliche Summe ist immer endlich ...
> Wie wären denn die ersten Umformungsschritte von (b)?
Naja, wie gesagt, Zähler verkleinern und/oder Nenner vergrößern
[mm] $\frac{n+4}{n^{2}-3n+1} [/mm] \ > \ [mm] \frac{n}{n^2-3n+1}$
[/mm]
Es ist für alle [mm] $n\in\IN$: [/mm] $-3n+1<0$, also [mm] $\frac{n}{n^2-3n+1} [/mm] \ > \ [mm] \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}$
[/mm]
Damit hat du deine divergente Minorante ..
LG
schachuzipus
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Also ich habe jetzt einmal versucht, die Aufgabe 1 selbst zu lösen. Vielleicht kann mir jemand sagen, ob meine Lösung korrekt ist und mich evtl. berichtigen:
[mm] \textbf{(a) Behauptung:}[/mm]
Sei [mm] (\overset{N}{\underset{n=1}{\sum}}c_{n})_{N\in\mathbb{N}} [/mm] divergent und [mm] 0\leq c_{n}\leq a_{n},\forall n\in\mathbb{N} [/mm].
Dann divergiert [mm] (\overset{N}{\underset{n=1}{\sum}}a_{n})_{N\in\mathbb{N}} [/mm].
Beweis:
Sei [mm] \varepsilon>0.\exists N\in\mathbb{N} [/mm] mit
[mm] \overset{N}{|\underset{n=m}{\sum}}c_{n}|>\varepsilon\forall m,n\geq N [/mm].
Also:
[mm] \overset{N}{\underset{n=m}{\sum}}a_{n}\geq\overset{N}{\underset{n=m}{\sum}}c_{n}\underset{a_{n}\geq c_{n}}{=}|\overset{N}{\underset{n=m}{\sum}}c_{n}|>\varepsilon [/mm]
(mit Worten verdeutlicht: Wenn bereits [mm] \overset{N}{|\underset{n=m}{\sum}}c_{n}|>\varepsilon[/mm], dann erst recht [mm]\overset{N}{\underset{n=m}{\sum}}a_{n}>\varepsilon [/mm] , da [mm] a_{n}\geq c_{n} [/mm].)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Mi 19.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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