Divergenz von Reihen bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Sa 21.02.2015 | | Autor: | OxOO1 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz oder Divergenz. Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz die Summe, im Fall der Divergenz ob gegen [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm].
[mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k-1}[/mm] und
[mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k-1}[/mm] |
Schönen Nachmittag zusammen, leider kann ich mit Analysis überhaupt nichts anfangen, würde es aber gerne lernen. Es geht darum ganz trivial zu bestimmen ob die Reihen konvergieren oder divergieren. Ich habe das Problem, das ich nie genau weiß wann die Lösung der Aufgabe abgeschloßen ist, irgendwie ist mir das alles etwas zu schwammg, vielleicht kann mir jemand helfen und mich ein wenig an die Lösungen heranführen, dass wäre sehr nett. Ich habe zu beiden Reihen jeweils meine Lösungen, aber ich bezweifle das ich da in der Klausur Punkte für bekomme geschweige denn das sie richtig sind. Ich beginne mal mit der ersten Reihe und meiner Lösung dazu:
[mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k-1} =
-3 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k} =
-3 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{9})^{k} =
-3 \cdot \sum_{k=0}^{\infty} (\frac{-1}{9})^{k} - 1 =
-3 \cdot (\frac{1}{1+\frac{1}{9}} - 1) = \frac{37}{10}[/mm]
Was genau sagt mir das nun aus ? Ich habe das Schema nach einer anderen ähnlichen Aufgabe angewandt, allerdings konvergierte diese und in meinem Fall divergiert sie Augenscheinlich ja gegen [mm] $-\infty$. [/mm] Nur wie lese ich das nun aus meiner Rechnung ? Oder muss ich etwas völlig anderes anwenden ?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Sa 21.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo OxOO1 und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Mach dir klar, dass das Symbol [mm] $\sum a_n$ [/mm] zwei verschiedene Bedeutungen
hat: Die Reihe als solche und nur im Konvergenzfall die Summe der
Reihe.
Mach dir die Voraussetzungen für die Konvergenz einer geometrischen
Reihe klar.
Übrigens gilt:
[mm] \left(-\frac{1}{3}\right)^{-2}=9.
[/mm]
(Hier hast du einen Fehler gemacht, so dass deine Reihe scheinbar
konvergiert. Das tut sie aber nicht.)
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 21.02.2015 | | Autor: | OxOO1 |
Okay vielen Dank und vielen Dank fürs Willkommenheißen, aber wie gebe ich denn nun bewiesen an dass die Reihe divergiert? Ein weiterer Versuch den ich gemacht habe war, dass ich einfach die ersten paar Folgenglieder berechne und daraus dann schließen kann, dass die Reihe wohl gegen [mm] $-\infty$ [/mm] divergiert. Ist so etwas denn als Lösung für die Aufgabenstellung valide ?
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k-1}$
[/mm]
[mm] $s_1 [/mm] = [mm] n_1 [/mm] = -27$
[mm] $s_2 [/mm] = [mm] s_1 [/mm] + [mm] n_2 [/mm] = -270$
[mm] $s_3 [/mm] = [mm] s_2 [/mm] + [mm] n_3 [/mm] = -2457$
[mm] $s_4 [/mm] = [mm] s_3 [/mm] + [mm] n_4 [/mm] = -22140$
Daraus kann ich dann schließen das die Reihe bestimmt divergiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Sa 21.02.2015 | | Autor: | hippias |
> Okay vielen Dank und vielen Dank fürs Willkommenheißen,
> aber wie gebe ich denn nun bewiesen an dass die Reihe
> divergiert?
Indem Du den Rechenfehler korrigierst, auf den Du hingewiesen wurdest. Dann wirst Du vermutlich erkennen, weshalb die Reihe divergiert.
> Ein weiterer Versuch den ich gemacht habe war,
> dass ich einfach die ersten paar Folgenglieder berechne und
> daraus dann schließen kann, dass die Reihe wohl gegen
> [mm]-\infty[/mm] divergiert. Ist so etwas denn als Lösung für die
> Aufgabenstellung valide ?
Nein.
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k-1}[/mm]
> [mm]s_1 = n_1 = -27[/mm]
>
> [mm]s_2 = s_1 + n_2 = -270[/mm]
> [mm]s_3 = s_2 + n_3 = -2457[/mm]
> [mm]s_4 = s_3 + n_4 = -22140[/mm]
>
> Daraus kann ich dann schließen das die Reihe bestimmt
> divergiert.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Sa 21.02.2015 | | Autor: | OxOO1 |
Okay also wenn ich die selben Schritte wie im ersten Versuch durchführe und meinen Rechenfehler korrigiere bekomme ich ja folgendes:
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k-1} [/mm] = -3 [mm] \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k} [/mm] = -3 [mm] \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (9)^{k} [/mm] = -3 [mm] \cdot (\sum_{k=0}^{\infty} (9)^{k} [/mm] + 1) = -3 [mm] \cdot (\frac{1}{1-9} [/mm] + 1) = [mm] \frac{3}{8}-3 [/mm] = [mm] -\frac{21}{8}$
[/mm]
Ich glaube fast die Rechnung ist wieder falsch und deshalb kann ich mit der Lösung wiedereinmal nichts anfangen oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Sa 21.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
Wenn du bei [mm] $k=0\$ [/mm] starten willst, dann musst du doch [mm] 1=9^0 [/mm] abziehen
oder du machst einen richtigen Indexshift. Außerdem hast du wieder
die Voraussetzung der Konvergenz einer geometrischen Reihe unter-
schlagen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Sa 21.02.2015 | | Autor: | OxOO1 |
Okay bedeutet das denn ich starte wie vorher:
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3}^{-2k-1}) [/mm] = -3 [mm] \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3}^{-2k}) [/mm] = -3 [mm] \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (9^{k})$
[/mm]
Da hier die Vorraussetzung für die Konvergenz einer geometrischen Reihe schon verletzt sind kann ich also folgern das die Reihe divergent ist. Ist das soweit schonmal richtig ?
Oder muss ich einfach nur die alte Aufgabe so bearbeiten,das ich wie du schon sagst die 1 ja wieder abziehe und dann auf [mm] $\frac{27}{8}$ [/mm] komme. Aber auch hier weiß ich leider nicht ob es schon das Ende der Lösung ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Sa 21.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Okay bedeutet das denn ich starte wie vorher:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3}^{-2k-1}) = -3 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3}^{-2k}) = -3 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (9^{k})[/mm]
>
> Da hier die Vorraussetzung für die Konvergenz einer
> geometrischen Reihe schon verletzt sind kann ich also
> folgern das die Reihe divergent ist. Ist das soweit
> schonmal richtig ?
>
> Oder muss ich einfach nur die alte Aufgabe so
> bearbeiten,das ich wie du schon sagst die 1 ja wieder
> abziehe und dann auf [mm]\frac{27}{8}[/mm] komme. Aber auch hier
> weiß ich leider nicht ob es schon das Ende der Lösung
> ist.
Das klingt jetzt aber recht verwirrend. Glaubst du nun, dass die Reihe divergent ist oder glaubst du, dass sie gegen 27/8 konvergiert?
1) Du musst hier gar nicht mit der Eigenschaft von geometrischen Reihen argumentieren, da bei [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} 9^{k}$ [/mm] ja bereits eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer beliebigen Reihe verletzt ist: [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}|a_k|=0$.
[/mm]
2) Wenn du mit Eigenschaften von geometrischen Reihen argumentieren möchtest (was gar nicht unvernünftig ist), solltest du erst begründen, warum es sich hier um eine geometrische Reihe handelt.
3) Du schreibst, "Da hier die Vorraussetzung für die Konvergenz einer geometrischen Reihe schon verletzt sind...". Gib doch an, um welche Voraussetzung es sich dabei handelt, also wann eine geometrische Reihe konvergent ist und daher die Summenformel angewandt werden darf. Und gib auch an, worin die Verletzung dieser Voraussetzung bei deiner Angabe besteht und was das nun für Konvergenz oder Divergenz deiner Reihe bedeutet.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Sa 21.02.2015 | | Autor: | OxOO1 |
Okay also ich weiß ja das die Reihe divergent gegen [mm] $-\infty$ [/mm] ist, von daher schreibe ich also alles so auf wie vorher:
[mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3}^{-2k-1}) = -3 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3}^{-2k}) = -3 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (9^{k})[/mm]
Und schreibe als abschließenden Satz:
Die Reihe erfüllt nicht das Nullfolgenkriterium, da [mm] $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{a_k} \neq [/mm] 0$, folglich ist die Reihe divergent.
Ist es so richtig argumentiert ?
Vielen Dank für eure Mühe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Sa 21.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Okay also ich weiß ja das die Reihe divergent gegen
> [mm]-\infty[/mm] ist, von daher schreibe ich also alles so auf wie
> vorher:
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3}^{-2k-1}) = -3 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3}^{-2k}) = -3 \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (9^{k})[/mm]
>
> Und schreibe als abschließenden Satz:
> Die Reihe erfüllt nicht das Nullfolgenkriterium, da
> [mm]\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{a_k} \neq 0[/mm], folglich
> ist die Reihe divergent.
>
> Ist es so richtig argumentiert ?
> Vielen Dank für eure Mühe.
>
Ist eine Möglichkeit, ja.
Bei der zweiten Aufgabe bleibt dir allerdings die geometrische Reihe nicht erspart.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 So 22.02.2015 | | Autor: | OxOO1 |
Okay super vielen lieben Dank jetzt ergibt es langsam Sinn.
Gruß,
OxOO1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Sa 21.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Ein weiterer Versuch den ich gemacht habe war,
> dass ich einfach die ersten paar Folgenglieder berechne und
> daraus dann schließen kann, dass die Reihe wohl gegen
> [mm]-\infty[/mm] divergiert. Ist so etwas denn als Lösung für die
> Aufgabenstellung valide ?
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k-1}[/mm]
> [mm]s_1 = n_1 = -27[/mm]
>
> [mm]s_2 = s_1 + n_2 = -270[/mm]
> [mm]s_3 = s_2 + n_3 = -2457[/mm]
> [mm]s_4 = s_3 + n_4 = -22140[/mm]
>
> Daraus kann ich dann schließen das die Reihe bestimmt
> divergiert.
Das ist viel zu schwammig, aber es funktioniert wie folgt:
Sei [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Folge. Wir betrachten die Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_n. [/mm] Die Zahlen
[mm] $S_1=a_1,\quad S_2=a_1+a_2,\quad\ldots\quad,\quad S_N=\sum_{n=1}^{N}a_n$
[/mm]
heißen Partialsummen der Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_n, [/mm] wobei diese eine weitere
Folge [mm] $(S_n)$ [/mm] bilden, die sogenannte Partialsummenfolge. Die Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_n
[/mm]
heißt konvergent, falls ihre Partialsummenfolge [mm] $(S_n)$ [/mm] konvergiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 22.02.2015 | | Autor: | OxOO1 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz, geben Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert an bzw. im Fall der Divergenz ob die Reihe gegen [mm] $-\infty$ [/mm] oder gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert.
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k-1} [/mm] $ |
So ich glaube hier hab ich nun die richtige Lösung, muss hier zur vollständigen Korrektheit auch noch ein Antwortsatz geschrieben werden oder reicht die Formulierung die ich hier angebe ?
$ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k-1} [/mm] = -3 [mm] \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k} [/mm] =
-3 [mm] \cdot \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{9})^{k} [/mm] = -3 [mm] \cdot (\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{9})^{k} [/mm] - 1) =
-3 [mm] \cdot (\frac{1}{9}^k [/mm] - 1) = -3 [mm] \cdot (\frac{1}{1-\frac{1}{9}} [/mm] - 1) =
-3 [mm] \cdot (\frac{1}{\frac{8}{9}} [/mm] - 1) = -3 [mm] \cdot (\frac{9}{8} [/mm] - 1) = -3 [mm] \cdot \frac{1}{8} [/mm] = [mm] \frac{-3}{8}$
[/mm]
Da in diesem Fall [mm] $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{a_0 q^k = 0}$ [/mm] die notwendige Bedingung für die Konvergenz einer geometrischen Reihe erfüllt ist, konvergiert diese gegen [mm] $\frac{-3}{8}$. $\blacksquare$
[/mm]
Gruß,
OxOO1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 So 22.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz bzw.
> Divergenz, geben Sie im Fall der Konvergenz den Grenzwert
> an bzw. im Fall der Divergenz ob die Reihe gegen [mm]-\infty[/mm]
> oder gegen [mm]\infty[/mm] divergiert.
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k-1}[/mm]
> So ich glaube
> hier hab ich nun die richtige Lösung, muss hier zur
> vollständigen Korrektheit auch noch ein Antwortsatz
> geschrieben werden oder reicht die Formulierung die ich
> hier angebe ?
>
> $ [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k-1}[/mm] = -3 [mm]\cdot \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k}[/mm]
> =
> -3 [mm]\cdot \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{9})^{k}[/mm] = -3 [mm]\cdot (\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{9})^{k}[/mm]
> - 1) =
> -3 [mm]\cdot (\frac{1}{9}^k[/mm] - 1) = -3 [mm]\cdot (\frac{1}{1-\frac{1}{9}}[/mm]
> - 1) =
> -3 [mm]\cdot (\frac{1}{\frac{8}{9}}[/mm] - 1) = -3 [mm]\cdot (\frac{9}{8}[/mm]
> - 1) = -3 [mm]\cdot \frac{1}{8}[/mm] = [mm]\frac{-3}{8}$[/mm]
Okay.
> Da in diesem Fall [mm]\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{a_0 q^k = 0}[/mm]
> die notwendige Bedingung für die Konvergenz einer
> geometrischen Reihe erfüllt ist, konvergiert diese gegen
> [mm]\frac{-3}{8}[/mm]. [mm]\blacksquare[/mm]
Was ist notwendig und was ist hinreichend? Was ist [mm] $a_0$ [/mm] und was
ist [mm] $q^k$? [/mm] Du musst einfach genauer arbeiten!
Es gilt:
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^{2k-1}=-3*\left(\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{9}\right)^{k}\right)-1\right).
[/mm]
Mit [mm] $\left|\frac{1}{9}\right|<1$ [/mm] erhalten wir eine geometrische Reihe und es gilt:
[mm] -3*\left(\left(\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{9}\right)^{k}\right)-1\right)=\ldots=-\frac{8}{3}.
[/mm]
Beachte: Es ist für alle(!) [mm] q\not=1
[/mm]
[mm] \sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad(n\in\IN_0),
[/mm]
aber nur für alle $|q|<1$ gilt:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}q^k=\frac{1}{1-q}.
[/mm]
(Du kannst mal probieren aus der ersten Aussage dir zweite zu
folgern. Das ist eigentlich ziemlich einfach.)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 22.02.2015 | | Autor: | OxOO1 |
Ohje vielen Dank das ist doch sehr schwierig für mich formal korrekte Aussagen zu liefern. Ich versuche es nochmal:
In diesem Fall ist [mm] $a_0 [/mm] = -3$ und [mm] $q=(\frac{-1}{3})$, [/mm] das bedeutet wir wollen nun [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] -3 [mm] \cdot \frac{-1}{3}^k$ [/mm] berechnen.
[mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] -3 [mm] \cdot \frac{-1}{3}^k [/mm] = [mm] \frac{\lim_{k\to \infty } \left(-3 (-1)^k\right)}{\lim_{k\to \infty } 3^k} [/mm] = [mm] \frac{\left
\begin{array}{c}
-3 \lim_{k\to \infty } (-1)^k \\
\end{array}
}{\lim_{k\to \infty } 3^k} [/mm] = [mm] \frac{-3
\begin{array}{c}
(-1)^{\lim_{k\to \infty } k} \\
\end{array}}{\lim_{k\to \infty } 3^k} [/mm] = [mm] \frac{-3 (-1)^{
\begin{array}{c}
\infty \\
\end{array}}}{\lim_{k\to \infty } 3^k} [/mm] = [mm] \frac{-3 \text{ oder } 3}{\infty} [/mm] = 0$
Da die notwendige und hinreichende Bedingung [mm] $|(\frac{-1}{3}^k| [/mm] < 1$ und die notwendige Bedingung [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] -3 [mm] \cdot \frac{-1}{3}^k [/mm] = 0$ der geometrischen Reihe erfüllt sind, ist die Reihe konvergent.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 So 22.02.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Ohje vielen Dank das ist doch sehr schwierig für mich
> formal korrekte Aussagen zu liefern.
Ja, das ist anfangs recht gewöhnungsbedürftig. Ist aber, auch wenn es manchmal übertrieben erscheint, notwendig und tatsächlich auch hilfreich. Die gute Nachricht ist - man gewöhnt sich mit der Zeit daran.
> Ich versuche es
> nochmal:
> In diesem Fall ist [mm]a_0 = -3[/mm] und [mm]q=(\frac{-1}{3})[/mm], das
> bedeutet wir wollen nun [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} -3 \cdot \frac{-1}{3}^k[/mm]
> berechnen.
Wirklich? Wollen wir das? Wozu? Außerdem fehlt da ein Klammerpaar, denn sonst wird ja nur die Eins potenziert.
Überdies scheinst du jetzt von der Angabe abgewichen zu sein, denn da war ja gar keine alternierende Reihe gegeben sondern bloß $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^{2k-1} =(-3)*\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{9}\right)^{k}$.
[/mm]
1) Eine unendliche Reihe $ [mm] \sum_{k=1}^{\infty} {a_k}$ [/mm] nennt man eine geometrische Reihe, wenn [mm] $\br{a_{k+1}}{a_k}=q=const.$ [/mm] für alle $k$ der Indexmenge (das muss nicht unbedingt die Menge der natürlichen Zahlen sein) gilt - der Quotient beliebiger aufeinanderfolgender Glieder also immer dieselbe, vom Index unabhängige, Konstante ergibt.
2) Eine geometrische Reihe ist genau dann konvergent, wenn für diesen Quotienten $|q|<1$ gilt.
3) Für eine konvergente (und nur für diesen Fall) geometrische Reihe gilt die Summenformel [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} {a_k}=a_1*\br{1}{1-q}$. [/mm] Dabei ist es völlig unerheblich ob der Index des ersten Reihenglieds 1, 0, -4 oder 37 ist. Das erste Reihenglied wird mit dem Bruch multipliziert. Es ist also absolut nicht nötig, die Reihe unbedingt so umzuformen, dass die Summe bei Null zu laufen beginnt.
Konkret bedeutet das nun für [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{9}\right)^{k}$:
[/mm]
1) [mm] $a_k=\left(\frac{1}{9}\right)^{k}$ [/mm] und damit [mm] $q=\br{a_{k+1}}{a_k}=\br {\left(\frac{1}{9}\right)^{k+1}}{\left(\frac{1}{9}\right)^{k}}=\br{1}{9}=const$. [/mm] Daher handelt es sich um eine geometrische Reihe.
2) [mm] $|q|=\left|\br{1}{9}\right|=\br{1}{9}<1$. [/mm] Daher ist diese geometrische Reihe konvergent.
3) Da wir nun wissen, dass es sich um eine konvergente geometrische Reihe mit [mm] $a_1=q=\br{1}{9}$ [/mm] handelt, dürfen wir die Summenformel anwenden und erhalten [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{9}\right)^{k}=\br{1}{9}*\br{1}{1-\br{1}{9}}=\br{1}{8}$ [/mm] und damit [mm] $(-3)*\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{9}\right)^{k}=-\br{3}{8}$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 So 22.02.2015 | | Autor: | OxOO1 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz oder Divergenz. Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz die Summe, im Fall der Divergenz ob gegen [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm].
a) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k-1}[/mm] und
b) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k-1}[/mm] |
Okay tausend Dank, das bedeutet die korrekten Lösungen für meine beiden Aufgaben wäre so formuliert korrekt ?
a) [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k-1} [/mm] = -3 [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k} [/mm] = -3 [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (9)^k$
[/mm]
[mm] $a_k [/mm] = [mm] (9)^k$, [/mm] da gilt [mm] $q=\frac{a_{k+1}}{a_k}=9=\textit{const.}$ [/mm] handelt es sich um eine geometrische Reihe.
Da $|q| = |9| = 9 > 1$ wird das Nullfolgenkriterium verletzt und die Reihe ist bestimmt divergent. [mm] $\blacksquare$
[/mm]
b) [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k-1} [/mm] = -3 [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k} [/mm] = -3 [mm] \sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{9})^k$
[/mm]
[mm] $a_k [/mm] = [mm] (\frac{1}{9})^k \text{ , da gilt } [/mm] $q = [mm] \frac{a_{k+1}}{a_k} [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{9}^{k+1}}{\frac{1}{9}^k} [/mm] = [mm] \frac{1}{9} [/mm] = [mm] \textit{const.} [/mm] handelt es sich um eine geometrische Reihe.
Da $|q| = [mm] |\frac{1}{9}| [/mm] = [mm] \frac{1}{9} [/mm] < 1$ ist die Reihe konvergent.
$-3 [mm] \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{9})^k [/mm] = -3 [mm] (\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{9})^k [/mm] -1) = -3 [mm] (\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{9}}-1) [/mm] = -3 [mm] (\frac{9}{8} [/mm] - 1) = -3 [mm] \cdot \frac{1}{8} [/mm] = [mm] \frac{-3}{8}$
[/mm]
Die Reihe konvergiert gegen [mm] $\frac{-3}{8}$.$\blacksquare$
[/mm]
Wäre es dann so der formal korrekte Beweis für die beiden Aufgaben ?
Vielen Dank und Gruß,
OxOO1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 So 22.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz oder
> Divergenz. Bestimmen Sie im Fall der Konvergenz die Summe,
> im Fall der Divergenz ob gegen [mm]\infty[/mm] oder [mm]-\infty[/mm].
>
> a) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k-1}[/mm] und
>
> b) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k-1}[/mm]
> Okay tausend
> Dank, das bedeutet die korrekten Lösungen für meine
> beiden Aufgaben wäre so formuliert korrekt ?
>
> a) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k-1} = -3 \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{-2k} = -3 \sum_{k=1}^{\infty} (9)^k[/mm]
>
> [mm]a_k = (9)^k[/mm], da gilt
> [mm]q=\frac{a_{k+1}}{a_k}=9=\textit{const.}[/mm] handelt es sich um
> eine geometrische Reihe.
> Da [mm]|q| = |9| = 9 > 1[/mm] wird das Nullfolgenkriterium verletzt
> und die Reihe ist bestimmt divergent. [mm]\blacksquare[/mm]
>
> b) [mm]\sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k-1} = -3 \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{-1}{3})^{2k} = -3 \sum_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{9})^k[/mm]
>
> [mm]a_k = (\frac{1}{9})^k \text{ , da gilt } [/mm]q =
> [mm]\frac{a_{k+1}}{a_k}[/mm] =
> [mm]\frac{\frac{1}{9}^{k+1}}{\frac{1}{9}^k}[/mm] = [mm]\frac{1}{9}[/mm] =
> [mm]\textit{const.}[/mm] handelt es sich um eine geometrische
> Reihe.
> Da [mm]|q| = |\frac{1}{9}| = \frac{1}{9} < 1[/mm] ist die Reihe
> konvergent.
>
> [mm]-3 \sum_{k=1}^{\infty} (\frac{1}{9})^k = -3 (\sum_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{9})^k -1) = -3 (\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{9}}-1)[/mm]
Nein, es lautet =3 [mm] (\frac{1}{1-\frac{1}{9}}-1)
[/mm]
Sonst ist es O.K.
FRED
> $= -3 [mm] (\frac{9}{8} [/mm] - 1) = -3 [mm] \cdot \frac{1}{8} [/mm] = [mm] \frac{-3}{8}$
[/mm]
>
> Die Reihe konvergiert gegen [mm]\frac{-3}{8}[/mm].[mm]\blacksquare[/mm]
>
> Wäre es dann so der formal korrekte Beweis für die beiden
> Aufgaben ?
> Vielen Dank und Gruß,
>
> OxOO1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 So 22.02.2015 | | Autor: | OxOO1 |
Okay vielen Dank aber ich kann mir leider grade nicht erklären wo das $-$ abgeblieben ist? Es wäre nett wenn du das nochmal kurz erläuterst leider ist deine Formel bei mir auch etwas verrutscht und ich kann nicht genau interpretieren was da nun steht.
Vielen Dank und Gruß,
OxOO1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 So 22.02.2015 | | Autor: | fred97 |
Ich habe meine Antwort editiert.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 So 22.02.2015 | | Autor: | OxOO1 |
Ahja jetzt sehe ich es vielen Dank natürlich muss es [mm] $\frac{1}{1-\frac{1}{9}}$ [/mm] heißen, aber das Vorzeichen bei der $3$ wird doch trotzdem nicht unterschlagen oder ? Denn das Ergebnis ist doch [mm] $\frac{-3}{8}$ [/mm] und nicht [mm] $\frac{3}{8}$.
[/mm]
Gruß,
OxOO1
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