Divergenzbeweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:40 Mi 07.05.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung, ist folgendes zu zeigen:
[mm] \forall(g)\in\IR [/mm] mit |g|>1 ist die Folge [mm] (g_{n})_{n\in\IN}=(g^{n}) [/mm] divergent. |
Ich habe mir folgenden Lösungsweg für die Aufgabe überlegt, weiß jedoch nicht, ob man das tatsächlich so machen kann:
ich habe folgendes definiert:
u:=g-1 [mm] \gdw [/mm] g=1+u
Die Bernoulli-Ungl. besagt:
[mm] (1+u)^{n}\ge1+nu [/mm] für alle [mm] u\in\IR ,u\ge-1 [/mm] und [mm] n\in\IN
[/mm]
Wenn also die Folge [mm] (1+nu)_{n\in\IN} [/mm] divergiert, so muss die Folge [mm] ((1+u)^{n})_{n\in\IN} [/mm] erst recht divergieren, da sie größer oder zumindest gleich groß ist. Die Folge [mm] (1+nu)_{n\in\IN} [/mm] divergiert. Somit muss auch die Folge [mm] ((1+u)^{n})_{n\in\IN} [/mm] divergieren. Allerdings gilt dies nur für [mm] u\ge-1 [/mm] ... Wie könnte ich nun alle anderen Fälle zeigen? Könnte mir da jemand mal auf die Sprünge helfen?
Dank im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Mi 07.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast es für g>1 g=1+u, u>0 gezeigt, dass u*n divergiert solltest du noch genauer sagen, zu jedem N aus [mm] \IN [/mm] es gibt ein [mm] N_0 [/mm] so dass für [mm] n>N_0, [/mm] u*n>N
dann g<-1 [mm] g^n=(-1)^n*|g|^b [/mm] und dann mit deinem Ergebnid g>1 für n gerade und ungerade argumentieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Do 08.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Leduart,
> Hallo
> du hast es für g>1 g=1+u, u>0 gezeigt, dass u*n
> divergiert solltest du noch genauer sagen, zu jedem N aus
> [mm]\IN[/mm] es gibt ein [mm]N_0[/mm] so dass für [mm]n>N_0,[/mm] u*n>N
> dann g<-1 [mm]g^n=(-1)^n*|g|^b[/mm]
Du meinst rechts [mm] $|g|^n$ [/mm] anstatt [mm] $|g|^\red{b}\,.$
[/mm]
> und dann mit deinem Ergebnid
> g>1 für n gerade und ungerade argumentieren.
Hier reicht's auch, sich auf einen der beiden Fälle zu beschränken. Es sei
denn, man würde mehr zeigen wollen, wie etwa
$g > [mm] 1\,$ [/mm] liefert: [mm] $g^n \to \infty$ [/mm] (bestimmte Divergenz von [mm] ${(g^n)}_{n \in \IN}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$)
[/mm]
und
$g < [mm] -1\,$ [/mm] liefert: [mm] ${(g^n)}_{n \in \IN}$ [/mm] ist unbestimmt divergent.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:10 Do 08.05.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung, ist folgendes
> zu zeigen:
>
> [mm]\forall(g)\in\IR[/mm] mit |g|>1 ist die Folge
> [mm](g_{n})_{n\in\IN}=(g^{n})[/mm] divergent.
> Ich habe mir folgenden Lösungsweg für die Aufgabe
> überlegt, weiß jedoch nicht, ob man das tatsächlich so
> machen kann:
>
> ich habe folgendes definiert:
> u:=g-1 [mm]\gdw[/mm] g=1+u
> Die Bernoulli-Ungl. besagt:
>
> [mm](1+u)^{n}\ge1+nu[/mm] für alle [mm]u\in\IR ,u\ge-1[/mm] und [mm]n\in\IN[/mm]
> Wenn also die Folge [mm](1+nu)_{n\in\IN}[/mm] divergiert, so muss
> die Folge [mm]((1+u)^{n})_{n\in\IN}[/mm] erst recht divergieren, da
> sie größer oder zumindest gleich groß ist. Die Folge
> [mm](1+nu)_{n\in\IN}[/mm] divergiert. Somit muss auch die Folge
> [mm]((1+u)^{n})_{n\in\IN}[/mm] divergieren. Allerdings gilt dies nur
> für [mm]u\ge-1[/mm] ... Wie könnte ich nun alle anderen Fälle
> zeigen? Könnte mir da jemand mal auf die Sprünge helfen?
ehrlich gesagt verstehe ich gerade noch nicht mal Dein Problem:
Oben hast Du i.W. (siehe Leduarts Hinweis: evtl. musst Du da noch ergänzen,
dass es zu jeder Zahl $C > [mm] 0\,$ [/mm] ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] mit $1+n*u [mm] \ge [/mm] C$ gibt) den
Fall, dass $g > [mm] 1\,$ [/mm] ist, behandelt.
Nun könntest Du Dich daran machen, auch den Fall
$g < [mm] -1\,$
[/mm]
zu untersuchen (beachte: [mm] $|g|\,>\,1$ $\iff$ [/mm] ($g > [mm] 1\,\; \textbf{ oder} \;g [/mm] < [mm] -1\,$)).
[/mm]
Mach' es aber doch so:
Ist $|g| > [mm] 1\,,$ [/mm] so gibt es ein $u > [mm] 0\,$ [/mm] mit
[mm] $|g|=1+u\,.$
[/mm]
Also folgt
[mm] $|g|^n=(1+u)^n \ge [/mm] 1+n*u [mm] \ge [/mm] n*u$ (die letzte Abschätzung reicht nämlich  ).
Denn damit kannst Du
[mm] $|g|^n \to \infty$ [/mm] ($n [mm] \to \infty$)
[/mm]
folgern, so dass wegen
[mm] $|g|^n=|g^n|$
[/mm]
(und "Stetigkeit des Betrages" - aber da Du das evtl. noch nicht benutzen
darfst: Man kann [mm] $a_n \to [/mm] a$ [mm] $\Rightarrow$ $|a_n| \to |a|\,$ [/mm] für eine in [mm] $\IR$
[/mm]
konvergente Folge [mm] ${(a_n)}_{n \in \IN}$ [/mm] nachweisen)
die Behauptung folgt.
P.S. Um Deine Überlegung mal zu vervollständigen:
Du musst da schon irgendwo
$u:=g-1 [mm] \red{\;>\;}0$
[/mm]
verwenden. Und beachte:
Bei einem
[mm] $u\,$ [/mm] mit $-1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 0$
würde Dir die Bernoullieungleichung so nicht helfen. Warum? (Mal abgesehen
von der Tatsache, dass da auch die Behauptung nicht stimmen würde, wenn
wir $0 [mm] \le [/mm] g < 1$ zulassen würden...)
Gruß,
Marcel
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