Division in Z_9 < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Di 02.12.2008 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Sie k [mm] \in \IN. [/mm] Für a,b [mm] \in \IZ_{k} [/mm] lässt sich die Division a /_{k} b erklären durch a *_{k} [mm] b^{-1}, [/mm] sofern das multiplikative Inverse [mm] b^{-1} [/mm] von b dort existiert.
i) Für welche j [mm] \in \IZ_{9} [/mm] ist die Division durch j möglich? Notieren Sie zu jedem solchen j auch das multiplikative Inverse. |
So, also oben die Frage.
Laut Vorlesung ist a*_{k}b definiert als: (a*b)mod k
Nun wie ist das aber oben gemeint?
Also [mm] \IZ_{9} [/mm] = [mm] \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}
[/mm]
Das einzige multiplikative Inverse, welches in [mm] \IZ_{9} [/mm] existiert ist die 1.
Aber ich kann doch auch z.B. 8/4 = 2 schreiben, welche nun alle in [mm] \IZ_{9} [/mm] enthalten sind.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:21 Di 02.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
In [mm] Z_9 [/mm] hat doch etwa 2 das Inverse 5 denn 5*2=1mod9
8/4=2 ist zwar richtig, aber nur weil das Inverse zu 4 7 ist
also 8/4=8*7=56=2mod9
Wenn du etwa auf dieselbe Weise 6/3=2 ausrechnest ist es falsch, denn 3 hat kein Inverses.
es Muss doch gelten: (6/3)*3=6=(6*3)/3=0/3=0 was ja wohl falsch ist.
Du hast ein Beispiel ausgesucht, Division durch 4 wo ein Inverses zu 4 existiert. drum ist deine Rechnung nicht falsch, aber unbegründet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Di 02.12.2008 | | Autor: | Pille456 |
Okay, also das hier muss gelten oder?
a/_{9}a = (a *_{9} [mm] a^{-1} [/mm] )mod 9 = 1
Dafür habe ich dann heraus:
a = 0 => [mm] a^{-1} [/mm] nicht vorhanden
a = 1 => [mm] a^{-1} [/mm] = 1
a = 2 => [mm] a^{-1} [/mm] = 5
a = 3 => [mm] a^{-1} [/mm] nicht vorhanden
a = 4 => [mm] a^{-1} [/mm] = 7
a = 5 => [mm] a^{-1} [/mm] = 2
a = 6 => [mm] a^{-1} [/mm] nicht vorhanden
a = 7 => [mm] a^{-1} [/mm] = 4
a = 8 => [mm] a^{-1} [/mm] nicht vorhanden
Hab das nun durch logisches Denken gelöst, kann man das auch per Gleichung? Hab nen bisschen rumprobiert aber kam auf keine Umformung von oben die passend war.
Das wäre dann doch auch schon die Lösung der Aufgabe oder? Weil die Aufgabe lautet ja "... Für welche j [mm] \in \IZ_{9} [/mm] ist die Division durch j möglich"
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> Okay, also das hier muss gelten oder?
> a/_{9}a = (a *_{9} [mm]a^{-1}[/mm] )mod 9 = 1
> Dafür habe ich dann heraus:
> a = 0 => [mm]a^{-1}[/mm] nicht vorhanden
> a = 1 => [mm]a^{-1}[/mm] = 1
> a = 2 => [mm]a^{-1}[/mm] = 5
> a = 3 => [mm]a^{-1}[/mm] nicht vorhanden
> a = 4 => [mm]a^{-1}[/mm] = 7
> a = 5 => [mm]a^{-1}[/mm] = 2
> a = 6 => [mm]a^{-1}[/mm] nicht vorhanden
> a = 7 => [mm]a^{-1}[/mm] = 4
> a = 8 => [mm]a^{-1}[/mm] nicht vorhanden
Hallo,
doch, die 8kann man mod 9 auch invertieren.
>
> Hab das nun durch logisches Denken gelöst, kann man das
> auch per Gleichung? Hab nen bisschen rumprobiert aber kam
> auf keine Umformung von oben die passend war.
Auf jeden Fall haben die Elemente, die Du invertieren kannst, alle eine bestimmte Eigenschaft bezogen auf die 9.
>
> Das wäre dann doch auch schon die Lösung der Aufgabe oder?
> Weil die Aufgabe lautet ja "... Für welche j [mm]\in \IZ_{9}[/mm]
> ist die Division durch j möglich"
Ja.
Gruß v. Angela
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