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Hallo,
Ich schreibe in zwei Tagen meine Abiturklausur und habe nun eine Frage:
Wie ist es generell mit der Dominanz von Funktionen, welche Funktionen dominieren welche?
Kann mir da eventuell jemand eine Reihe geben, wie es sein müsste?
Ich denke es mir so:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] log x < m*x+b < [mm] x^{a} [/mm] < [mm] a^{x}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:03 Mo 05.02.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich denke mal, dass das so stimmt. Vielleicht solltest du noch Einschränkungen für a machen.
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Warum einschränkungen?
die einzige die mir da einfällt ist [mm] a\not=1 [/mm] und [mm] a\not=-1
[/mm]
habe ich was übersehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Mo 05.02.2007 | | Autor: | Teufel |
Wenn a=1 oder a=0, dann gilt
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^a [/mm] > [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} a^x
[/mm]
Und ferner lässt sich sagen, dass wenn [mm] a\in[0;1], [/mm] gilt
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^a [/mm] > [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} a^x
[/mm]
Für a<0 ist [mm] a^x [/mm] nicht definiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:19 Mo 05.02.2007 | | Autor: | master_nic |
danke...nicht weiter drüber nachgedacht
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kaum schreibe ich es...schon zweifle ich wieder dran:
wenn für [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} a^{x} [/mm] ; a= ]0;1[
und
x^[b]
was tendiert dann schneller gegen [mm] 0/\infty??
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mo 05.02.2007 | | Autor: | Teufel |
Ok, nehmen wir an a=1:
Dann ist
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}1^x=1 [/mm] und
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^1=\infty
[/mm]
Für a=0:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}0^x=0 [/mm] und
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^0=1
[/mm]
Und dann a zwischen 0 und 1:
Beispiel: a=0,5
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}0,5^x=0 [/mm] und
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^0,5=\limes_{x\rightarrow\infty}\wurzel{x}=\infty
[/mm]
Für diese 3 Fälle ist [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}a^x<\limes_{x\rightarrow\infty}x^a.
[/mm]
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das ist mir klar...nur was davon tendiert schneller gegen 0 bzw [mm] \infty?
[/mm]
so wie
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x^{5}}{x^{4}} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
also [mm] x^{5} [/mm] über [mm] x^{4} [/mm] dominiert.
für den angenommenen fall das [mm] a^{x} [/mm] ; a = ]0;1[
und
[mm] x^{b}
[/mm]
also was ist:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} {x^{b}}*{a^{x}} [/mm] = ?
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Wenn ich das richtig verstanden habe, lautet die Frage: Wie lautet der Grenzwert von [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^{b}*a^{x} [/mm] für a=(0,1)?
Wenn sich "a" innerhalb von 0 und 1 befindet und a einen variablen Exponenten hat, in diesem Fall [mm] a^{x}, [/mm] dann konvergiert das Ganze gegen den Grenzwert 0. Jetzt stellt sich die Frage, was wohl mit [mm] x^{b} [/mm] geschieht.
Angenommen, [mm] x^{b} [/mm] divergiert, wie lautet dann der Grenzwert von [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}x^{b}*a^{x}? [/mm] Ich behaupte [mm] \infty. [/mm] Warum das?
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{b*ln(x)}}{e^{-x*ln(a)}}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}e^{b*ln(x)}<\limes_{x\rightarrow\infty}e^{-x*ln(a)}
[/mm]
ln(x) steigt für [mm] x-> \infty [/mm] verhältnismäßig langsam an, -x*ln(a) hingegen schneller (Info: [mm] a^{x} [/mm] -> 0), da x in seiner "natürlichen" Form hier steht und nicht in seiner "gebremsten". Als Funktion betrachtet: f(x) geht ins Unendliche. Stell dir einfach die Funktionskurven vor.
Vielleicht gibt's mit l'Hospital eine bessere Methode, um dies hier zu beweisen. Man muss die Angabe so umformen, dass entweder f(x)/1/g(x) = 0/0 oder g(x)/1/f(x) = [mm] \infty/\infty [/mm] rauskommt.
Gruß, Hannes
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