Dominated convergence theorem < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Di 12.07.2011 | | Autor: | hula |
Guten Morgen,
Ich habe folgende Gleichung in einem Beweis und verstehe nicht, wie man hier das Dominated Convergence Theorem anwenden kann.
Sei $\ U [mm] \subset \IR^n$ [/mm] offen und $\ [mm] (u_m)_{m\in \IN} \in L^p(U) [/mm] $ eine Cauchyfolge. Des weiteren sein $\ [mm] \phi \in C^\infty_0$ [/mm] eine glatte stetig differenzierbare Funktion mit kompaktem Support in $\ U$. Dann vertauschen sie folgende Grenzwerte:
[mm]\integral_{U}{\limes_{n\rightarrow\infty}u_n D^\alpha \phi dx}=\limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{U}{ u_n D^\alpha \phi dx} [/mm]
Es ist klar, dass $\ [mm] \phi [/mm] $ abgeschätzt werden kann durch eine Konstante, ihr Maximum auf einer kompakten Menge in $\ U $. Also so etwas:
[mm] |u_n \phi | \le C |u_n| [/mm]
aber wie soll ich nun $\ [mm] u_n [/mm] $ weiter abschätzen, damit ich dominierte Konvergenz anwenden kann?
Danke für die HIlfe
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Di 12.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
wieso nicht aus der definierenden Eigenschaft einer Cauchy-Folge: ab einem gewissen Index liegen alle weiteren Werte in einem Band der Breite 1 um den aktuellen Wert?
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Di 12.07.2011 | | Autor: | hula |
Ich sehe nicht ein, wie mir das helfen sollte? Dabei kann ich nur folgende Abschätzung machen:
[mm] |u_n(x)-u_m(x)| \le \epsilon [/mm]. Damit kann ich nicht sowas abschätzen:
[mm] |u_n(x)| \le g(x) \forall x,n\in \IN[/mm] und [mm]g \in L^p(U) [/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Di 12.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Ich war mir nicht sicher, was
> $ \ [mm] (u_m)_{m\in \IN} \in L^p(U) [/mm] $
heißen soll. Du meinst also $ \ [mm] (u_m)_{m\in \IN}, u_m \in L^p(U), \forall m\in\IN [/mm] $ und nicht $ \ [mm] (u_m)_{m\in \IN} \in l^p(U) [/mm] $
Und bist Du Dir sicher, daß es eine punktweise Cauchy-Folge ist und nicht eine in [mm] $L^p$? [/mm] Denn damit muß der Grenzwert noch nichtmal in [mm] $L^1$ [/mm] sein.
Auch bei Konvergenz in [mm] $L^p$ [/mm] (und damit [mm] $L^1$, [/mm] weil [mm] $\phi$ [/mm] kompakten Träger hat) gibt es keine Majorante.
Beispiel: [mm] $L^1$. [/mm] Sagen wir der Träger von [mm] $\phi$ [/mm] ist $[0,1]$. Jetzt nimmst Du für [mm] $u_m$
[/mm]
[mm] $u_m:=\sqrt{m} [/mm] * [mm] 1_{I(m)}(x)$
[/mm]
mit $I(m)$ einer Folge von Intervallen der Breite [mm] $\frac [/mm] 1m$, die durch [0,1] durchlaufen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:41 Di 12.07.2011 | | Autor: | hula |
Es geht um den Beweis, dass ein Sobolevraum ein Banachraum ist. Für die Vollständigkeit muss ich ja zeigen:
[mm] (u_n)_{n\in \IN}[/mm] Cauchyfolge in [mm] W^{k,p} [/mm]. Nach Defenition also [mm] (D^\alpha u_n)_{n\in\IN}[/mm] Cauchyfolge in $\ [mm] L^p \forall |\alpha|\le [/mm] k $. Da $\ [mm] L^p [/mm] $ Räume vollständig sind, existieren also folgende Grenzwerte:
[mm]D^\alpha u_n\to u_\alpha [/mm] in $\ [mm] L^p$.
[/mm]
Ebenso natürlich für $\ [mm] \alpha [/mm] = 0$ : $\ [mm] u_n \to u_0$. [/mm] Jetzt möchte ich gerne zeigen, dass $\ [mm] D^\alpha [/mm] u = [mm] u_\alpha [/mm] $ wiederum $\ [mm] \forall |\alpha|\le [/mm] k $
Dazu muss ich eben diese Grenzwerte vertauschen können. Wenn ich weiss warum ich das darf (resp. Majorante gefunden habe), bin ich fertig mit dem Beweis.
Gruss
Hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Di 12.07.2011 | | Autor: | dormant |
Hi!
Du suchst nach einer integrierbaren Majorante.
> Es geht um den Beweis, dass ein Sobolevraum ein Banachraum
> ist. Für die Vollständigkeit muss ich ja zeigen:
>
> [mm](u_n)_{n\in \IN}[/mm] Cauchyfolge in [mm]W^{k,p} [/mm]. Nach Defenition
> also [mm](D^\alpha u_n)_{n\in\IN}[/mm] Cauchyfolge in [mm]\ L^p \forall |\alpha|\le k [/mm].
> Da [mm]\ L^p[/mm] Räume vollständig sind, existieren also folgende
> Grenzwerte:
>
> [mm]D^\alpha u_n\to u_\alpha[/mm] in [mm]\ L^p[/mm].
Ich schlage dann eben [mm] C|u_\alpha|+\varepsilon\in L^p [/mm] vor. Das C soll das "ab einem Index n" erschlagen, und das [mm] \varepsilon [/mm] kümmert sich um die schon erwähnte Bandbreite um den Grenzwert [mm] u_{\alpha}.
[/mm]
> Ebenso natürlich für
> [mm]\ \alpha = 0[/mm] : [mm]\ u_n \to u_0[/mm]. Jetzt möchte ich gerne
> zeigen, dass [mm]\ D^\alpha u = u_\alpha[/mm] wiederum [mm]\ \forall |\alpha|\le k[/mm]
>
> Dazu muss ich eben diese Grenzwerte vertauschen können.
> Wenn ich weiss warum ich das darf (resp. Majorante gefunden
> habe), bin ich fertig mit dem Beweis.
>
> Gruss
>
> Hula
Grüße,
dormant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Di 12.07.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
also wenn's ne Cauchy-Folge in [mm] $L^p$ [/mm] ist, d.h. Konvergenz bzgl. der p-Norm, dann
[mm] $\int u_m* D^\alpha\phi\ [/mm] dx [mm] -\int u*D^\alpha\phi\ [/mm] dx [mm] \leq \int [/mm] | [mm] u_m [/mm] - [mm] u|*D^\alpha\phi\ [/mm] dx [mm] \to [/mm] 0$
weil sich [mm] $D^\alpha\phi$ [/mm] durch eine Konstante abschätzen läßt.
ciao
Stefan
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