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| Aufgabe | | Beispiel einer Doppelfolge zu Verständnis des Beweises |
Frage zum Beweis
Voraussetzung: Doppelfolge [mm] (a_{mn}) [/mm] von 1 bis [mm] \infty, \limes_{n,m\rightarrow\infty}a_{nm}=a, \exists a_{n}:=\limes_{m\rightarrow\infty} a_{nm} \forall n\in\IN. [/mm] Dann existiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] und es gilt
[mm] a=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\limes_{n,m\rightarrow\infty} a_{nm}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\limes_{m\rightarrow\infty} a_{nm}).
[/mm]
Beweis: Zu [mm] \varepsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in\IN: |a_{nm}-a|<\varepsilon \forall n,m\ge [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] Für jedes feste n [mm] \ge [/mm] N folgt dann durch Grenzübergang [mm] m\to\infty:
[/mm]
[mm] |a_{n}-a|=|\limes_{m\rightarrow\infty} a_{nm}-a|\le\varepsilon, [/mm] d.h. es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=a.
[/mm]
Gesucht: Beispiel einer Doppelfolge, zu der eine konkrete Zahl für [mm] \varepsilon [/mm] angenommen und ein N ermittelt wird, so dass die beiden Ungleichungen gelten und der Fall [mm] =\varepsilon [/mm] in der 2. Ungleichung mit ... [mm] \le \varepsilon [/mm] auftritt.
Warum gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=a? |a_{n}-a| [/mm] müßte doch nach Definition des Grenzwertes [mm] <\varepsilon [/mm] sein (nicht [mm] \le \varepsilon)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Sa 17.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beispiel einer Doppelfolge zu Verständnis des Beweises
> Frage zum Beweis
> Voraussetzung: Doppelfolge [mm](a_{mn})[/mm] von 1 bis [mm]\infty, \limes_{n,m\rightarrow\infty}a_{nm}=a, \exists a_{n}:=\limes_{m\rightarrow\infty} a_{nm} \forall n\in\IN.[/mm]
> Dann existiert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] und es
> gilt
> [mm]a=\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=\limes_{n,m\rightarrow\infty} a_{nm}=\limes_{n\rightarrow\infty}(\limes_{m\rightarrow\infty} a_{nm}).[/mm]
>
> Beweis: Zu [mm]\varepsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in\IN: |a_{nm}-a|<\varepsilon \forall n,m\ge[/mm]
> N [mm]\Rightarrow[/mm] Für jedes feste n [mm]\ge[/mm] N folgt dann durch
> Grenzübergang [mm]m\to\infty:[/mm]
> [mm]|a_{n}-a|=|\limes_{m\rightarrow\infty} a_{nm}-a|\le\varepsilon,[/mm]
> d.h. es gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=a.[/mm]
> Gesucht:
> Beispiel einer Doppelfolge, zu der eine konkrete Zahl für
> [mm]\varepsilon[/mm] angenommen und ein N ermittelt wird, so dass
> die beiden Ungleichungen gelten und der Fall [mm]=\varepsilon[/mm]
> in der 2. Ungleichung mit ... [mm]\le \varepsilon[/mm] auftritt.
> Warum gilt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=a? |a_{n}-a|[/mm]
> müßte doch nach Definition des Grenzwertes [mm]<\varepsilon[/mm]
> sein (nicht [mm]\le \varepsilon)[/mm]
wenn Dein einziges Problem darin besteht, dass am Ende anstatt $< [mm] \varepsilon$ [/mm] dort [mm] $\le \varepsilon$ [/mm] steht, dann ist das Problem auch ohne Beispiel schnell gehandhabt:
Anstatt
[mm] $$(I)\;\;a_n \to [/mm] a [mm] :\gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N=N_\varepsilon: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] \text{ gilt }|a_n-a|< \varepsilon$$
[/mm]
kann man auch definieren
[mm] $$(II)\;\;a_n \to [/mm] a [mm] :\gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists N=N_\varepsilon: \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N [mm] \text{ gilt }|a_n-a| \le \varepsilon\,.$$
[/mm]
Die Definitionen sind einander äquivalent. Denn: "Konvergiere [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gemäß [mm] $(I)\,$" [/mm] gegen [mm] $a\,.$ [/mm] Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so gibt es ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ folgt
[mm] $$|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$$
[/mm]
Für diese folgt dann insbesondere natürlich
[mm] $$|a_n-a| \le \varepsilon\,,$$
[/mm]
also "konvergiert [mm] $(a_n)_n$ [/mm] auch gemäß [mm] $(II)\,$ [/mm] gegen [mm] $a\,.$"
[/mm]
Umgekehrt: "Konvergiere nun [mm] $(a_n)_n$ [/mm] gemäß [mm] $(II)\,$" [/mm] gegen [mm] $a\,.$ [/mm] Sei nun [mm] $\varepsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wegen [mm] $(II)\,$ [/mm] existiert dann zu [mm] $\epsilon':=0.5*\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N=N_{\epsilon'}$ [/mm] so, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ folgt
[mm] $$|a_n-a| \le \epsilon'\,,$$
[/mm]
also wegen [mm] $\epsilon'=\varepsilon/2 [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] auch
[mm] $$|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$$
[/mm]
Daher "konvergiert [mm] $(a_n)_n$ [/mm] auch gemäß [mm] $(I)\,$ [/mm] gegen [mm] $a\,.$"
[/mm]
Insgesamt:
Bei der Definition
[mm] "$(a_n)_n$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $a\,$ [/mm] genau dann, wenn für jedes [mm] $\red{\varepsilon > 0}$ [/mm] ein [mm] $N=N_\varepsilon \in \IN$ [/mm] existiert, so dass für alle [mm] $\blue{n \ge N}$ [/mm] gilt [mm] $\blue{|a_n-a| < \varepsilon}$"
[/mm]
darfst Du in den "blauen Teilen" die [mm] $<\,$ [/mm] beliebig durch [mm] $\le$ [/mm] ersetzen, ohne, dass Du an der "Konvergenzdefinition" etwas änderst - jede dieser 4 Möglichkeiten der Konvergenzdefinition ist zu den jeweils 3 anderen äquivalent. Allerdings: Wichtig ist, dass in der "roten Ungleichung" auch eine "echte Ungleichung" stehen bleibt!
Gruß,
Marcel
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Meine Problem war, dass ich nicht verstand, warum aus dem < in der 1. Ungleichung ein [mm] \le [/mm] in der 2. gefolgerten Ungleichung wurde.
Zu $ [mm] \varepsilon>0 \exists [/mm] $ N $ [mm] \in\IN: |a_{nm}-a|<\varepsilon \forall n,m\ge [/mm] $
> N $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Für jedes feste n $ [mm] \ge [/mm] $ N folgt dann durch
> Grenzübergang $ [mm] m\to\infty: [/mm] $
> $ [mm] |a_{n}-a|=|\limes_{m\rightarrow\infty} a_{nm}-a|\le\varepsilon, [/mm] $
Deshalb meine Suche nach einem Beispiel (in der Vorlesung wurde eine Frage von mir mit grundsätzlichen Ausführungen, die ich auch verstanden habe, aber nicht recht in Beziehung zu Doppelfolgen bringen konnte, beantwortet).
Nun habe ich ein Beispiel gebildet und möchte fragen, ob das richtig ist:
[mm] a_{nm}=1-\bruch{m}{(m+1)n}, \limes_{m,n\rightarrow\infty}a_{nm}=1,\varepsilon=\bruch{1}{3}, [/mm] N=3, dann ist tatsächlich
[mm] |\limes_{m\rightarrow\infty}a_{3m}-1|=\bruch{1}{3} [/mm] d.h. [mm] =\varepsilon, [/mm] für n>3 natürlich [mm] <\varepsilon.
[/mm]
Danke für die Ausführungen zur Begründung [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a. [/mm] Da hätte ich sonst ein weiteres Problem bekommen.
Siggi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Fr 30.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Meine Problem war, dass ich nicht verstand, warum aus dem <
> in der 1. Ungleichung ein [mm]\le[/mm] in der 2. gefolgerten
> Ungleichung wurde.
> Zu [mm]\varepsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in\IN: |a_{nm}-a|<\varepsilon \forall n,m\ge[/mm]
>
> > N [mm]\Rightarrow[/mm] Für jedes feste n [mm]\ge[/mm] N folgt dann durch
> > Grenzübergang [mm]m\to\infty:[/mm]
> > [mm]|a_{n}-a|=|\limes_{m\rightarrow\infty} a_{nm}-a|\le\varepsilon,[/mm]
das sollte Dir auch bekannt sein - es ist vielleicht ein wenig versteckt. Es ergibt es sich etwa so:
Man weiß, dass gilt: Falls [mm] $(c_m)_m$ [/mm] eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] ist mit [mm] $c_m [/mm] < [mm] r\,$ [/mm] für alle (oder fast alle) [mm] $m\,,$ [/mm] so gilt, falls [mm] $c_m \to c\,,$ [/mm] insbesondere auch $c [mm] \le r\,.$ [/mm] Das kann man leicht beweisen. Was man nicht beweisen könnte, wäre, dass $c < [mm] r\,$ [/mm] gilt, denn betrachte etwa die [mm] $c_m:=1-1/m\,$ [/mm] und [mm] $r:=c:=1\,.$
[/mm]
Oben:
Definiere für beliebiges, feste $n [mm] \in \IN$ [/mm] nun [mm] $(b^{(n)}_m)_m$ [/mm] durch
[mm] $$b^{(n)}_m:=a_{n,m}-a\,,$$
[/mm]
dann folgt wegen [mm] $a_{n,m} \to a_n$ [/mm] (bei $m [mm] \to \infty$) [/mm] mit [mm] $b^{(n)}:=a_n-a$ [/mm] sofort
[mm] $$\lim_{m \to \infty}b^{(n)}_m=a_n-a=b^{(n)}\,.$$
[/mm]
Dann steht oben doch nichts anderes als, dass
[mm] $$|b^{(n)}_m| [/mm] < [mm] \varepsilon$$
[/mm]
für jedes [mm] $m\,$ [/mm] gilt. Ferner gilt, weil ja [mm] $\lim_{m \to \infty} b^{(n)}_m$ [/mm] (für jedes beliebige, feste [mm] $n\,$) [/mm] existiert, auch
[mm] $$\lim_{m \to \infty}|b^{(n)}_m|=|\lim_{m \to \infty}b^{(n)}_m|=|b^{(n)}|\;\;\;(=|a_n-a|)$$
[/mm]
(das ist prinzipiell nichts anderes als die Stetigkeit der Betragsfunktion), insbesondere beinhaltet dies, dass auch [mm] $(|b^{(n)}_m|)_m$ [/mm] konvergiert und zwar gegen [mm] $|b^{(n)}|\,.$
[/mm]
Und nun nimm' das von mir oben erwähnte:
Setze (für beliebiges, einimal fest gewähltes [mm] $n\,$) [/mm] nun
[mm] $$c_m:=|b^{(n)}_m|=|a_{n,m}-a|$$
[/mm]
und [mm] $r=\varepsilon\,.$
[/mm]
(Besser würde die Folge [mm] $(c_m)_m$ [/mm] auch als [mm] $(c^{(n)}_m)_m$ [/mm] schreiben, weil man mit einem anderen [mm] $n\,$ [/mm] auch eine andere Folge [mm] $(c_m)_m$ [/mm] erhält. Aber ich lasse es hier so stehen, weil ich hoffe, dass das klar ist, und so der Zusammenhang zu oben deutlicher ist!)
Dann gilt [mm] $c_m [/mm] < r$ für jedes genügend große [mm] $m\,$ [/mm] und es gilt [mm] $c_m \to c:=|b^{(n)}|=|a_n-a|\,.$ [/mm] Damit sehen wir, dass wir so "nur"
[mm] $$|a_n-a|=c \le r=\varepsilon$$
[/mm]
folgern dürfen (was aber auch ausreicht!).
> Deshalb meine Suche nach einem Beispiel (in der Vorlesung
> wurde eine Frage von mir mit grundsätzlichen
> Ausführungen, die ich auch verstanden habe, aber nicht
> recht in Beziehung zu Doppelfolgen bringen konnte,
> beantwortet).
> Nun habe ich ein Beispiel gebildet und möchte fragen, ob
> das richtig ist:
Sei mir nicht böse, aber meiner Meinung nach braucht man sich das hier nicht an Beispielen klarzumachen, sondern sollte lieber die logischen Zusammenhänge verstehen. Aber ich überlasse es gerne jmd. anderem, da nochmal drüberzuschauen - insbesondere auch aus Zeitgründen meinerseits (muss gleich weg).
> [mm]a_{nm}=1-\bruch{m}{(m+1)n}, \limes_{m,n\rightarrow\infty}a_{nm}=1,\varepsilon=\bruch{1}{3},[/mm]
> N=3, dann ist tatsächlich
> [mm]|\limes_{m\rightarrow\infty}a_{3m}-1|=\bruch{1}{3}[/mm] d.h.
> [mm]=\varepsilon,[/mm] für n>3 natürlich [mm]<\varepsilon.[/mm]
> Danke für die Ausführungen zur Begründung
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a.[/mm] Da hätte ich sonst ein
> weiteres Problem bekommen.
> Siggi
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 07.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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