Doppelintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mi 05.09.2007 | | Autor: | stooge |
| Aufgabe | | [mm]\integral_{1}^{3} \integral_{y}^{2y}{1/{(x^2+y^2)} dx dy} [/mm] |
Nachdem mir beim ersten Integral so toll geholfen wurde, hoffe ich jetzt auf eine zweite Hilfestellung. Ich habe mehrere Wege ausprobiert und gehe davon aus, dass diese Aufgabe auch mit kart. Koordinaten gelöst werden kann. Hier ist mein Ansatz:
Inneres Integral:
[mm]\integral_{y}^{2y}{1/{(x^2+y^2)} dx} = \ln{x^2+y^2} =[/mm] Grenzen werden eingesetzt = [mm] \ln{5y^2}- \ln{2y^2} = \ln{5/2}[/mm]
Äusseres Integral:
[mm] \integral_{1}^{3}{1/{\ln{5/2} dy}= 2\ln{5/2}[/mm]
Leider deckt sich das nicht mit dem angegeben Ergebnis. Hat vielleicht jemand einen Ansatz für mich?
Besten Dank im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> [mm]\integral_{1}^{3} \integral_{y}^{2y}{1/{(x^2+y^2)} dx dy}[/mm]
>
> Nachdem mir beim ersten Integral so toll geholfen wurde,
> hoffe ich jetzt auf eine zweite Hilfestellung. Ich habe
> mehrere Wege ausprobiert und gehe davon aus, dass diese
> Aufgabe auch mit kart. Koordinaten gelöst werden kann. Hier
> ist mein Ansatz:
> Inneres Integral:
> [mm]\integral_{y}^{2y}{1/{(x^2+y^2)} dx} = \ln{x^2+y^2} =[/mm]
> Grenzen werden eingesetzt = [mm]\ln{5y^2}- \ln{2y^2} = \ln{5/2}[/mm]
> Äusseres Integral:
> [mm]\integral_{1}^{3}{1/{\ln{5/2} dy}= 2\ln{5/2}[/mm]
>
> Leider deckt sich das nicht mit dem angegeben Ergebnis. Hat
> vielleicht jemand einen Ansatz für mich?
Das 1. Integral müsste so lauten (wenn ich mich nicht irre):
[mm]\integral_{y}^{2y}1/(x^2+y^2) \,dx [/mm]
= [mm]\left[\bruch{1}{y}*arctan\left(\bruch{x}{y}\right)\right]_{y}^{2y}[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mi 05.09.2007 | | Autor: | stooge |
Hey Martin, super!
Mit dem Integral komme ich nun auch zum richtigen Ergebnis?
Mir ist aber noch nicht ganz klar, wie du das Integral entwickelst hast bzw. warum [mm]\integral_{y}^{2y}{1/{(x^2+y^2)} dx} = \ln{x^2+y^2} [/mm] hier nicht gilt?
Ein gelöstes Integral ist mir in der Form noch nicht begegnet und wir dürfen keine Integraltafeln benutzen, daher arbeite ich auch nicht mit einer.
Nochmals vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Hey Martin, super!
> Mit dem Integral komme ich nun auch zum richtigen
> Ergebnis?
> Mir ist aber noch nicht ganz klar, wie du das Integral
> entwickelst hast bzw. warum
> [mm]\integral_{y}^{2y}{1/{(x^2+y^2)} dx} = \ln{x^2+y^2}[/mm] hier
> nicht gilt?
Kettenregel. Leite doch mal [mm]\ln (x^2 + y^2)[/mm] ab. =)
> Ein gelöstes Integral ist mir in der Form noch nicht
> begegnet und wir dürfen keine Integraltafeln benutzen,
> daher arbeite ich auch nicht mit einer.
Dann hattet Ihr die Ableitung des Arkustangens wahrscheinlich mal; vielleicht in einer Nebenbemerkung oder so, weil man ad hoc sonst kaum drauf kommt.
Der Arkustangens ist die Umkehrfunktion des Tangens, und der Tangens ist Sinus/Cosinus.
Mit den Regeln für die Ableitung von Umkehrfunktionen und der Quotientenregel erhält man dann die Ableitung des Arkustangens und das Integral folgt dann daraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo stooge!
Entweder man "weiß" einfach, dass gilt: [mm] $\left[ \ \arctan(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+x^2}$ [/mm] .
Oder man muss hier dieses Integral [mm] $\integral{\bruch{1}{y^2+x^2} \ dx}$ [/mm] mit der Substitution $x \ := \ [mm] y*\tan(u)$ [/mm] lösen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Do 06.09.2007 | | Autor: | stooge |
Ich bin beide Wege noch einmal in Ruhe "zu Fuss" gegangen und hab jetzt ein viel besseres Verständnis!
Besten Dank noch mal für eure Hilfe und Erklärungen!
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