Doppelintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Fr 11.07.2008 | | Autor: | fabianH |
Hai leute ich hab folgendes Doppelintegral:
[mm] \integral \integral (x^2 [/mm] + [mm] y^2) [/mm] dx dy
Die Grenzen sind gegeben durch:
1 [mm] \le x^2 +y^2 \le R^2
[/mm]
Ich hab jetzt keinen plan welche grenzen ich hab. Ich hab nur so ne Idee und zwar:
[mm] \integral_{1}^{R^2} \integral_{-\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{1-y^2}}
[/mm]
Es geht mir nur um die Grenzen. Wie ich das ganze Integriere weiss ich. Ist das so richtig? Wenn nein wie sind die grenzen dann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fabianH,
> Hai leute ich hab folgendes Doppelintegral:
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> [mm]\integral \integral (x^2[/mm] + [mm]y^2)[/mm] dx dy
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> Die Grenzen sind gegeben durch:
>
> 1 [mm]\le x^2 +y^2 \le R^2[/mm]
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> Ich hab jetzt keinen plan welche grenzen ich hab. Ich hab
> nur so ne Idee und zwar:
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> [mm]\integral_{1}^{R^2} \integral_{-\wurzel{1-y^2}}^{\wurzel{1-y^2}}[/mm]
>
> Es geht mir nur um die Grenzen. Wie ich das ganze
> Integriere weiss ich. Ist das so richtig? Wenn nein wie
> sind die grenzen dann?
Das Integral selbst kann man aufsplitten in zwei Bereiche:
[mm]0 \le x^{2}+y^{2} \le R^{2}[/mm]
und
[mm]0 \le x^{2}+y^{2} \le 1[/mm]
Dann hast Du hier 2 Integrale zu berechnen:
[mm]I_{1}:=\integral \integral_{0 \le x^2+y^{2} \le R^{2}}^{} {x^2 + y^2} \ dx \ dy[/mm]
[mm]I_{2}:=\integral \integral_{0 \le x^2+y^{2} \le 1}^{} {x^2 + y^2} \ dx \ dy[/mm]
Der Wert des obigen Integrals ergibt sich dann aus [mm]I_{1}-I_{2}[/mm]
Die Grenzen beider Integrale werden jeweils durch die entsprechende Kreisgleichung festgelegt.
Mit einer geeigneten ![[]](/images/popup.gif) Parametertransformation ist das einfacher zu berechnen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Fr 11.07.2008 | | Autor: | fabianH |
Hi
Danke für die schnelle Antwort. Gerade diese Grenzen sind mein problem. Ich weiss nicht wie ich über die Grenze so wie sie da angegeben ist integrieren soll.
Du hast jetzt im Grunde genommen aus einem Problem von mir zwei gemacht.
Ich muss doch grenzen haben, die ich dann in die Stammfunktion einsetze oder nicht?
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Hallo,
dein Integrationsgebiet in der x-y-Ebene ist doch ein Kreisring mit dem Ursprung als Mittelpunkt. Der innere Kreis mit dem Radius 1 und der äußere Kreis mit dem Radius R.
Da das aber fürchterliche Integrale ergibt würde ich doch Mathe-Powers Vorschlag folgen und Zylinderkoordinaten verwenden:
[mm] $\integral \integral (x^2+y^2)\;dxdy$ [/mm] mit $1 [mm] \le x^2+y^2 \le R^2$
[/mm]
wird mit [mm] x=r*cos(\phi) [/mm] und [mm] y=r*sin(\phi) [/mm] zu
[mm] $\integral \integral r^2*r\;dr [/mm] d [mm] \varphi$ [/mm] mit $1 [mm] \le r^2 \le R^2$
[/mm]
also
[mm] $\integral_{\varphi=0}^{\varphi=2\pi} \integral_{r=1}^{r=R} r^3\;dr [/mm] d [mm] \varphi$
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 11.07.2008 | | Autor: | fabianH |
Hi!
Ich danke dir für die nette und schnelle Antwort. Ich hege kein Zweifel daran, dass Powers Vorschlag sinnvoll war. Das Problem welches ich habe und was ich immernoch nicht verstehe, ist aus der Angabe
1 [mm] \le x^2 +y^2 \le [/mm] R
Die einzelnen Integralgrenzen herrauszufinden. Wie kriegt ihr die denn raus?
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Hallo fabianH,
> Hi!
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> Ich danke dir für die nette und schnelle Antwort. Ich hege
> kein Zweifel daran, dass Powers Vorschlag sinnvoll war. Das
> Problem welches ich habe und was ich immernoch nicht
> verstehe, ist aus der Angabe
>
> 1 [mm]\le x^2 +y^2 \le[/mm] R
>
> Die einzelnen Integralgrenzen herrauszufinden. Wie kriegt
> ihr die denn raus?
Zu diesem Zweck splitte diesen Bereich in 2 Teilbereiche:
[mm]0 \le x^{2}+y^{2} \le R^{2}[/mm]
Nun hast Du eine Funktion als Obergrenze gegeben:
[mm]x^{2}+y^{2}=R^{2} \Rightarrow y=\pm \wurzel{R^{2}-x^{2}}[/mm]
Hieraus ergeben sich die Grenzen für y:
[mm]-\wurzel{R^{2}-x^{2}} \le y \le \wurzel{R^{2}-x^{2}}[/mm]
Aus dem Wurzelausdruck ergeben sich wiederum die Grenzen für x, denn es
muß ja gelten:
[mm]R^{2} - x ^{2} \ge 0 \Rightarrow x^{2} \le R^{2} \gdw \vmat{x} \le R[/mm]
Für den Bereich
[mm]0 \le x^{2}+y^{2} \le 1[/mm]
läuft das analog.
Gruß
MathePower
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