Doppelintegral Substitution < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Di 31.08.2004 | | Autor: | Kahle |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Ich komm grad einfach nicht weiter. Die Rechenschritte hab ich vorliegen, kann aber die Schritte nicht so ganz nachvollziehen. Wäre echt nett, wenn ihr euch das mal anschauen könntet.
[mm] \integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} \wurzel(4-3 cos^2 \phi) \sin \phi d \phi d \varphi [/mm] (vor dem phi und varphi muss jeweils ein d stehn; bekommst aber leider nicht hin)
jetzt wird x = cos phi gesetzt und ab jetzt versteh ich nicht wie man darrauf kommt, geschweige denn weiter rechnen kann?
[mm] =2 \pi \integral_{-1}^{1} \wurzel{4-3x^2} dx [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:35 Di 31.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Kahle
ich denke hier wurde einfach der satz von fubini verwendet:
der integrand [m] f: [0, \pi] \times [0, 2\pi] \to \mathbb{R}; \; (\phi, \varphi) \mapsto \sqrt{4-3 \cos^2 \phi} \sin \phi [/m] ist überall definiert und nicht-negativ (die wurzel ist offensichtlich größer null und der [mm] $\sin \phi$ [/mm] ist für [mm] $\phi \in [/mm] [0, [mm] \pi]$ [/mm] auch nicht-negativ). daher darf nach dem satz von fubini die integrationsreihenfolge vertauscht werden.
man integriert dann zuerst über [mm] $\varphi$ [/mm] und erhält dadurch - da die funktion bezüglich [mm] $\varphi$ [/mm] konstant ist - die "länge" des intervalls. danach hat man ein "gewöhnliches ein-dimensionales" integral:
[m] \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \wurzel{4-3 \cos^2 \phi} \sin \phi \; \text{d} \phi \, \text{d} \varphi \stackrel{\text{fubini}}{=} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sqrt{ 4 - 3 \cos^2 \phi } \sin \phi \; \text{d} \varphi \, \text{d} \phi \stackrel{\text{linearität}}{=} \int_0^\pi \sqrt{ 4 - 3 \cos^2 \phi } \sin \phi \; \int_0^{2\pi} \text{d} \varphi \, \text{d} \varphi [/m] [m] = \int_0^\pi \sqrt{ 4 - 3 \cos^2 \phi } \sin \phi \, (2\pi) \; \text{d} \phi \stackrel{\text{linearität}}{=} 2\pi \int_0^\pi \sqrt{ 4 - 3 \cos^2 \phi } \sin \phi \; \text{d} \phi [/m]
nun führt die von dir angegeben substitution [m] x = \cos \phi [/m] zu dem integral [m] 2 \pi \int_{-1}^1 \sqrt{4-3x^2} \, \text{d}x [/m], da sich [m] \sin \varphi [/m] bei der substitution heraushebt, sowie durch das minus das bei der substitution entsteht die integrationsgrenzen vertauscht werden können.
probiere mal selbst weiterzurechnen. wenn du nicht weiterkommen solltest kannst du gerne nochmal nachfragen.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Di 31.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Kahle,
ich versuche mal, Dir da beim Substituieren zu helfen.
du hast gegeben:
> [mm][mm]\integral_{0}^{2 \pi} \integral_{0}^{\pi} \wurzel(4-3 cos^2 \phi) \sin \phi[/mm] d [mm]\phi[/mm] d [mm]\varphi [/mm][/mm]
Nun substituierst Du $x = [mm] cos\phi$ [/mm] und "leitest ab" (das ist mehr eine Merkregel bzw. gehört zur Non-Standard-Analysis):
$dx = [mm] -sin\phi d\phi \gdw d\phi [/mm] = [mm] -\bruch{dx}{sin\phi}$
[/mm]
Jetzt musst Du natürlich auch die Integrationsgrenzen anpassen: $cos(0) = 1$, [mm] $cos(\pi) [/mm] = -1$, dann erhälst Du zunächst mit einsetzen:
[mm] $\integral_{0}^{2 \pi} \integral_{1}^{-1} \wurzel(4-3 x^2) \sin \phi *(-\bruch{dx}{sin\phi}) d\varphi$
[/mm]
Hier kannst Du natürlich das Minus durch vertauschen der Integrationsgrenzen wegheben:
[mm] $\integral_{0}^{2 \pi} \integral_{-1}^{1} \wurzel(4-3 x^2) [/mm] dx [mm] d\varphi [/mm] =$
[mm] $\integral_{0}^{2 \pi} (\integral_{-1}^{1} \wurzel(4-3 x^2) [/mm] dx) [mm] d\varphi$
[/mm]
Da in der Klammer keine Instanz von [mm] $\varphi$ [/mm] auftaucht, kann sie als Faktor angenommen werden, somit kannst Du über [mm] $\varphi$ [/mm] ganz einfach integrieren:
[mm] $\integral_{0}^{2 \pi} d\varphi [/mm] = [mm] (2\pi [/mm] + c) - (0 + c) = [mm] 2\pi$
[/mm]
Zusammengesetzt ergibt das dann gerade
[mm] $2\pi*\integral_{-1}^{1} \wurzel(4-3 x^2) [/mm] dx$
greetz
AT-Colt
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