Doppelintegral Transformation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | B, D reguläre Integrationsbereiche, [mm] f:B\to\IR [/mm] stetig, [mm] \phi:D\to [/mm] B Koord.transformation
[mm] \integral\integral_{B}{f(x,y) d(x,y)}=\integral\integral_{D}{f(\phi(u,v)) |detD\phi(u,v)|d(u,v)}
[/mm]
Ich bin nicht sicher ob ich die Transformationsformel richtig verstanden habe.
Kann jemand ein (einfaches) Beispiel nennen, wo ich die transformationsformel anwenden kann? |
Die Funktionaldeterminante ist nicht das problem. Ich weiß wie man sie bestimmt.
Ich verstehe aber den Zusammenhang zwischen den itnegrationsbereich B und D nicht
B ist ja das "komplizierte" Integrationsgebiet. Diesen soll ich vereinfachen, indem ich es auf D transformiere, richtig? Was ist dann [mm] \phi [/mm] ?
Ich denke ein Beispiel würde mir helfen die transformationsformel zu verstehen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Do 15.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> B, D reguläre Integrationsbereiche, [mm]f:B\to\IR[/mm] stetig,
> [mm]\phi:D\to[/mm] B Koord.transformation
>
> [mm]\integral\integral_{B}{f(x,y) d(x,y)}=\integral\integral_{D}{f(\phi(u,v)) |detD\phi(u,v)|d(u,v)}[/mm]
>
> Ich bin nicht sicher ob ich die Transformationsformel
> richtig verstanden habe.
> Kann jemand ein (einfaches) Beispiel nennen, wo ich die
> transformationsformel anwenden kann?
> Die Funktionaldeterminante ist nicht das problem. Ich
> weiß wie man sie bestimmt.
>
> Ich verstehe aber den Zusammenhang zwischen den
> itnegrationsbereich B und D nicht
>
> B ist ja das "komplizierte" Integrationsgebiet. Diesen soll
> ich vereinfachen, indem ich es auf D transformiere,
> richtig?
Ja
> Was ist dann [mm]\phi[/mm] ?
[mm] \phi [/mm] ist dann eine Koordinatentransformation, die das Gewünschte leistet
>
> Ich denke ein Beispiel würde mir helfen die
> transformationsformel zu verstehen.
Sei [mm] B:=\{(x,y) \in \IR^2:x^2+y^2 \le 1\} [/mm] und [mm] f(x,y):=x^2+y^2.
[/mm]
D und [mm] \phi [/mm] kannst Du dann zum Beispiel so wählen:
$D:=[0,1] [mm] \times [/mm] [0, 2 [mm] \pi]$
[/mm]
[mm] \phi(r,\varphi):=\vektor{r*cos(\varphi) \\ r*sin(\varphi)}.
[/mm]
Dann ist
[mm] $\integral_{B}^{}{(x^2+y^2) d(x,y)}=\integral_{D}^{}{r^3 d(r, \varphi)}=\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{2 \pi}{r^3 d \varphi}) dr}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] * [mm] \integral_{0}^{1}{r^3 dr}=\bruch{\pi}{2}.$
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
> Sei [mm]B:=\{(x,y) \in \IR^2:x^2+y^2 \le 1\}[/mm] und
> [mm]f(x,y):=x^2+y^2.[/mm]
>
> D und [mm]\phi[/mm] kannst Du dann zum Beispiel so wählen:
>
> [mm]D:=[0,1] \times [0, 2 \pi][/mm]
>
> [mm]\phi(r,\varphi):=\vektor{r*cos(\varphi) \\ r*sin(\varphi)}.[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]\integral_{B}^{}{(x^2+y^2) d(x,y)}=\integral_{D}^{}{r^3 d(r, \varphi)}=\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{2 \pi}{r^3 d \varphi}) dr}= 2 \pi * \integral_{0}^{1}{r^3 dr}=\bruch{\pi}{2}.[/mm]
>
bei diesem beispiel gilt [mm] f(\phi(r,\varphi))=r^2(cos(\varphi)^2+sin(\varphi)^2)=r^2
[/mm]
richtig?
Falls das richtig ist, habe ich eine frage zum folgenden Video ab der 10:30 Minute
![[]](/images/popup.gif) zur 10:30min vorspulen
Wie kommt sie auf [mm] f(\phi(r,\varphi))=1 [/mm] ?
eigentlich müsste es doch auch heißen [mm] f(\phi(r,\varphi))=r^2
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Do 15.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]B:=\{(x,y) \in \IR^2:x^2+y^2 \le 1\}[/mm] und
> > [mm]f(x,y):=x^2+y^2.[/mm]
> >
> > D und [mm]\phi[/mm] kannst Du dann zum Beispiel so wählen:
> >
> > [mm]D:=[0,1] \times [0, 2 \pi][/mm]
> >
> > [mm]\phi(r,\varphi):=\vektor{r*cos(\varphi) \\ r*sin(\varphi)}.[/mm]
>
> >
> > Dann ist
> >
> > [mm]\integral_{B}^{}{(x^2+y^2) d(x,y)}=\integral_{D}^{}{r^3 d(r, \varphi)}=\integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{2 \pi}{r^3 d \varphi}) dr}= 2 \pi * \integral_{0}^{1}{r^3 dr}=\bruch{\pi}{2}.[/mm]
>
> >
>
>
> bei diesem beispiel gilt
> [mm]f(\phi(r,\varphi))=r^2(cos(\varphi)^2+sin(\varphi)^2)=r^2[/mm]
>
> richtig?
Ja
>
> Falls das richtig ist, habe ich eine frage zum folgenden
> Video ab der 10:30 Minute
>
> zur 10:30min vorspulen
>
> Wie kommt sie auf [mm]f(\phi(r,\varphi))=1[/mm] ?
Das ist ein Fehler !
>
> eigentlich müsste es doch auch heißen
> [mm]f(\phi(r,\varphi))=r^2[/mm]
So ist es.
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo Fred,
bist du sicher dass das im Video ein Fehler ist? Denn ich habe im Script ein beispiel stehen, wo auch für f(x,y)=1 eingesetzt wurde. Ich schreib das beispiel mal hier auf:
Beispiel: polarkoordinaten:
Zum kreis [mm] K=\{(x,y)|x^2+y^2\le R\} [/mm] betrachte
[mm] \phi:D\to [/mm] K, [mm] \phi(r,\varphi):=\vektor{rcos\varphi \\ rsin\varphi}, D:=[0,R]x[0,2\pi]
[/mm]
[mm] \phi [/mm] ist nicht bijektiv, aber die "Ausnahmemenge", der x-Achsenabschnitt [mm] [0,R]x\{0\}, [/mm] kann für die integration vernachlässigt werden.
[mm] \integral \integral_{K}{1d(x,y)}=\integral \integral_{D}{1|detD\phi(r,\varphi)|d(r,\varphi)}=\integral_{0}^{R} \integral_{0}^{2\pi}{rd(r,\varphi)}=\pi*R^2
[/mm]
hier wurde auch für f(x,y)=1 gesetzt, wie im Video. Ich weiß aber nicht wieso
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:50 Mo 19.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> bist du sicher dass das im Video ein Fehler ist?
Ja, wer zusieht ist im Vorteil: irgendwann ist in dem Video deutlich zu erkennen: [mm] f(x,y)=x^2+y^2.
[/mm]
> Denn ich
> habe im Script ein beispiel stehen, wo auch für f(x,y)=1
> eingesetzt wurde.
Boah ! Das ist ja ein Ding ! Im vergangenen Sommersemester habe ich in meiner Vorlesung ein Beispiel gemacht, da hab ich doch tatsächlich [mm] f(x,y)=x^2+xy^3+4 [/mm] gesetzt !
> Ich schreib das beispiel mal hier auf:
>
> Beispiel: polarkoordinaten:
>
> Zum kreis [mm]K=\{(x,y)|x^2+y^2\le R\}[/mm] betrachte
>
> [mm]\phi:D\to[/mm] K, [mm]\phi(r,\varphi):=\vektor{rcos\varphi \\ rsin\varphi}, D:=[0,R]x[0,2\pi][/mm]
>
> [mm]\phi[/mm] ist nicht bijektiv, aber die "Ausnahmemenge", der
> x-Achsenabschnitt [mm][0,R]x\{0\},[/mm] kann für die integration
> vernachlässigt werden.
>
> [mm]\integral \integral_{K}{1d(x,y)}=\integral \integral_{D}{1|detD\phi(r,\varphi)|d(r,\varphi)}=\integral_{0}^{R} \integral_{0}^{2\pi}{rd(r,\varphi)}=\pi*R^2[/mm]
>
>
> hier wurde auch für f(x,y)=1 gesetzt, wie im Video. Ich
> weiß aber nicht wieso
Ich schon: der Skriptverfasser berechnet den Inhalt eines Kreises mit Radius R. Kündigt er das nicht an ?
FRED
>
|
|
|
|
